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Per una disequazione
f
ð
x
Þ
<
g
ð
x
Þ
oppure
f
ð
x
Þ
>
g
ð
x
Þ
puoi procedere grafica-
mente come per l’equazione
f
ð
x
Þ ¼
g
ð
x
Þ
, ma devi selezionare i punti in cui il
grafico di
y
¼
f
ð
x
Þ
sta al di sotto oppure al di sopra di quello di
y
¼
g
ð
x
Þ
.
Considera la disequazione
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10
x
2
p
<
1
2
ð
x
þ
5
Þ
. Il gra-
fico di
y
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10
x
2
p
e` la meta` superiore della circonfe-
renza con centro nell’origine e raggio
ffiffiffiffiffi
10
p
che interseca la
retta
y
¼
1
2
ð
x
þ
5
Þ
nei punti
ð
3;1
Þ
e
ð
1;3
Þ
. Dunque la
disequazione iniziale ha soluzione
ffiffiffiffiffi
10
p
x
<
3 op-
pure 1
<
x
ffiffiffiffiffi
10
p
.
1
–3
O
x
y
3
1
Per risolvere
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12
þ
2
x x
2
p
>
1
5
ð
14
x
Þ
noti che
y
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12
þ
2
x x
2
p
rappresenta la meta` superiore della
circonferenza di centro
ð
1;0
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
13
p
, che interseca
la retta
y
¼
1
5
ð
14
x
Þ
in
ð
1;3
Þ
e
ð
4;2
Þ
. Dunque la di-
sequazione iniziale ha soluzione 1
<
x
<
4.
4
–1
O
x
y
3
1
Circonferenza di Apollonio
Hai introdotto la circonferenza come l’insieme dei punti aventi distanza prefissa-
ta da un centro dato, ma esiste un altro modo piu` implicito di definirla:
Teorema
Fissa due punti
A
e
B
distinti nel piano e un parametro
k
>
0. Consi-
dera il luogo
L
dei punti del piano per i quali il rapporto tra le distanze da
A
e da
B
vale
k
, ovvero
L
¼
P
j
AP
BP
¼
k
. Allora per
k
6
¼
1 hai che
L
e` una circonferenza.
Dimostrazione
Poni
d
¼
AB
e scegli un sistema di riferimento cartesiano con l’origine in
A
e con il semiasse positivo delle ascissepassante per
B
. Allora
A
¼ ð
0;0
Þ
e
B
¼ ð
d
;0
Þ
.
Se
P
¼ ð
x
;
y
Þ
hai
AP
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
þ
y
2
p
e
BP
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
x d
Þ
2
þ
y
2
q
, dunque
P
appartiene a
L
se e
solo se
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
þ
y
2
p
¼
k
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
x d
Þ
2
þ
y
2
p
.
Elevando al quadrato ottieni (dopo qualche calcolo)
x
2
þ
y
2
þ
2
k
2
d
1
k
2
x
k
2
d
2
1
k
2
¼
0 per
k
6
¼
1.
Poiche´
2
k
2
d
1
k
2
2
þ
4
k
2
d
2
1
k
2
¼
2
kd
1
k
2
2
>
0
hai trovato l’equazione di una circonferenza.
x
y
A
B
P
e
e
UNITA` 7
La circonferenza
309
RELAZIONI CHE DEFINISCONO
CIRCONFERENZE
ATTENZIONE!
Se
k
¼
1 il luogo
L
e`
l’asse del segmento
AB
.