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Considera le circonferenze
C
1
e
C
2
di equazioni
x
2
þ
y
2
6
x
þ
12
y
þ
20
¼
0 e
x
2
þ
y
2
10
¼
0, secanti nei punti
ð
1; 3
Þ
e
ð
3; 1
Þ
. Il fascio generato da
C
1
e
C
2
ha equazione
x
2
þ
y
2
6
1
þ
k
x
þ
12
1
þ
k
y
þ
10
ð
2
k
Þ
1
þ
k
¼
0, che rappresenta sempre
una circonferenza (purche´
k
6
¼
1). Essa passa sempre per
ð
1; 3
Þ
e
ð
3; 1
Þ
e il suo
centro
3
1
þ
k
;
6
1
þ
k
giace sempre sulla retta 2
x
þ
y
¼
0 passante per i centri
ð
3; 6
Þ
e di
C
1
e
C
2
.
PARAGRAFO
4
Applicazioni
In questo paragrafo vedrai un’applicazione della circonferenza a un problema al-
gebrico e scoprirai una sua sorprendente proprieta` geometrica.
Applicazioni alle equazioni e disequazioni irrazionali
Comincia ricordando un fatto che conosci:
Regola
Date due funzioni
f
ð
x
Þ
e
g
ð
x
Þ
, le soluzioni dell’equazione
f
ð
x
Þ ¼
g
ð
x
Þ
sono le ascisse dei punti di intersezione dei grafici di
y
¼
f
ð
x
Þ
e
y
¼
g
ð
x
Þ
.
Supponi ora che la prima funzione sia del tipo
f
ð
x
Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
þ
bx x
2
p
e che la se-
conda sia una retta,
g
ð
x
Þ ¼
mx
þ
q
. Puoi allora riscrivere
f
ð
x
Þ
nella forma
f
ð
x
Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r
2
x x
0
ð
Þ
2
p
e ricordare che il grafico di questa funzione definita su
x
0
r
,
x
0
þ
r
½
e` la meta` superiore della circonferenza di centro
x
0
;0
ð Þ
e raggio
r
. Quindi cerchi le intersezioni tra questa semicirconferenza e la retta
y
¼
mx
þ
q
.
Considera l’equazione
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10
x x
2
p ¼
1
7
ð
x
þ
20
Þ
. Poiche´ 10
x x
2
¼
5
2
ð
x
5
Þ
2
la
funzione
y
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10
x
10
p
e` definita per 0
x
10 e ha come grafico la meta` contenu-
ta nel semipiano delle ordinate non negative della circon-
ferenza
x
2
þ
y
2
10
x
¼
0 di centro
ð
5;0
Þ
e raggio 5.
L’intersezione tra questa semicirconferenza e la retta
y
¼
1
7
ð
x
þ
20
Þ
, che puoi determinare graficamente, e` da-
ta dai punti
ð
1
;
3
Þ
e
ð
8
;
4
Þ
. Quindi le soluzioni dell’equa-
zione iniziale sono
x
¼
1 e
x
¼
8.
3
O
x
y
8
4
2 4 6
2
Per risolvere
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4 4
x x
2
p
¼
x
þ
2 noti che 4 4
x x
2
¼
8
ð
x
þ
2
Þ
2
, dunque
la funzione
y
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4 4
x x
2
p
e`
definita per
2 2
ffiffi
2
p
x
2
þ
2
ffiffi
2
p
e ha come grafico la me-
ta` contenuta nel semipiano delle ordinate non negative
della circonferenza
x
2
þ
y
2
þ
4
x
¼
4 di centro
ð
2
;
0
Þ
e raggio 2
ffiffi
2
p
. L’intersezione con
y
¼
x
þ
2 e` il solo
punto
ð
0
;
2
Þ
, quindi l’unica soluzione dell’equazione
iniziale e`
x
¼
0.
O
x
y
2
1
1
e
e
e
308
SEZIONE 2
Geometria analitica