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CURIOSITA`
Gia` gli antichi egizi conoscevano un metodo per trovare la perpendicolare a una retta tracciata
per terra. Conficcavano un palo in un punto della retta e con una corda attaccata al palo
segnavano una circonferenza. Poi spostavano il palo in uno dei due punti di intersezione tra la
retta e la circonferenza e ne tracciavano un’altra, mantenendo sempre lo stesso raggio. Univano
poi i due punti di intersezione delle due circonferenze e ottenevano una perpendicolare alla retta
iniziale.
Fasci di circonferenze
Considera due circonferenze
C
1
e
C
2
di equazioni
x
2
þ
y
2
þ
a
1
x
þ
b
1
y
þ
c
1
¼
0 e
x
2
þ
y
2
þ
a
2
x
þ
b
2
y
þ
c
2
¼
0. Se moltiplichi l’equazione di
C
1
per un nu-
mero
k
1
e quella di
C
2
per
k
2
e sommi i risultati trovi
k
1
ð
x
2
þ
y
2
þ
a
1
x
þ
b
1
y
þ
c
1
Þ þ
k
2
ð
x
2
þ
y
2
þ
a
2
x
þ
b
2
y
þ
c
2
Þ ¼
0
ovvero
ð
k
1
þ
k
2
Þ
x
2
þ ð
k
1
þ
k
2
Þ
y
2
þ ð
k
1
a
1
þ
k
2
a
2
Þ
x
þ ð
k
1
b
1
þ
k
2
b
2
Þ
y
þ ð
k
1
c
1
þ
k
2
c
2
Þ ¼
0.
Se ora dividi per
k
1
þ
k
2
(supponendo che sia non nullo), trovi un’equazione del-
lo stesso tipo di quelle di
C
1
e
C
2
:
x
2
þ
y
2
þ
k
1
a
1
þ
k
2
a
2
k
1
þ
k
2
x
þ
k
1
b
1
þ
k
2
b
2
k
1
þ
k
2
y
þ
k
1
c
1
þ
k
2
c
2
k
1
þ
k
2
¼
0
:
Definizione
Chiami
fascio di circonferenze generato da
C
1
e
C
2
l’insieme delle
circonferenze aventi un’equazione di questo tipo.
Spesso nella pratica ti conviene fissare
k
1
¼
1 e far variare soltanto il secondo pa-
rametro
k
2
, chiamandolo
k
. In questo modo ottieni tutte le circonferenze del fa-
scio tranne
C
2
.
Ecco le principali proprieta` del fascio generato da due circonferenze
C
1
e
C
2
:
Se
C
1
e
C
2
...
allora tutte le circonferenze del fascio
generato da
C
1
e
C
2
...
hanno lo stesso centro
P
hanno anch’esse centro in
P
non sono concentriche
hanno centro sulla retta passante per i centri
di
C
1
e
C
2
sono tangenti tra loro in un punto
Q
sono tangenti a
C
1
e
C
2
nel punto
Q
si intersecano in due punti
A
e
B
passano anch’esse per
A
e
B
PUNTUALIZZIAMO
Come indicato sopra, possono esserci valori di
k
1
e
k
2
per i quali l’equazione del fascio generato
da
C
1
e
C
2
non definisce una circonferenza. Tuttavia puoi verificare da solo che se
C
1
e
C
2
sono secanti ti basta chiedere che
k
1
þ
k
2
6
¼
0 e hai l’equazione di una circonferenza.
306
SEZIONE 2
Geometria analitica
ATTENZIONE!
L’equazione del fascio
generato da
C
1
e
C
2
non
definisce sempre una
circonferenza. Perche´ lo
faccia, devi prendere
k
1
e
k
2
in modo che
a
2
þ
b
2
>
4
c
. Inoltre devi
sempre avere
k
1
þ
k
2
6
¼
0
Fascio generato
da due circonferenze