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Intersezione tra una circonferenza e un fascio improprio
Ricorda che un fascio improprio e` costituito dalle rette parallele a una retta data.
Vedi allora subito che se
C
e` una circonferenza nel piano, un fascio improprio
contiene due rette tangenti a
C
. Le infinite rette comprese tra le due tangenti
sono secanti a
C
, mentre le infinite rette esterne alle due tangenti sono esterne a
C
. Inoltre sai gia` che le tangenti sono le rette che hanno distanza dal centro di
C
uguale al raggio, le secanti sono quelle che hanno distanza minore, mentre le
rette esterne sono quelle che hanno distanza maggiore.
Considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
8
x
4
y
þ
10
¼
0 e il fascio im-
proprio di equazione
x
þ
3
y
þ
k
¼
0. Se vuoi trovare le due rette del fascio che sono
tangenti a
C
, cominci a notare che essa ha centro
ð
4;2
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
10
p
. Inoltre la di-
stanza tra
ð
4;2
Þ
e la retta
x
þ
3
y
þ
k
¼
0 vale
j
4
þ
6
þ
k
j
=
ffiffiffiffiffi
10
p
, dunque per trovare
le tangenti devi imporre l’uguaglianza
j
4
þ
6
þ
k
j
=
ffiffiffiffiffi
10
p ¼
ffiffiffiffiffi
10
p
, che e` soddisfatta per
k
¼
0 e
k
¼
20. Dunque le rette del fascio tangenti a
C
sono
x
þ
3
y
¼
0 e
x
þ
3
y
20
¼
0. Con gli stessi calcoli vedi che per 20
<
k
<
0 la retta
x
þ
3
y
þ
k
¼
0 e` secante a
C
, mentre per
k
<
20 e per
k
>
0 e` esterna.
2
4
6
y
–2
4 6 8
0
x
2
0
Invece che confrontare il raggio di
C
con la distanza tra il centro di
C
e la retta
del fascio, puoi ricavare
x
o
y
dall’equazione del fascio, sostituire in quella di
C
e discutere il segno del discriminante dell’equazione di secondo grado che ottie-
ni. In alternativa, puoi imporre che la distanza delle rette del fascio dal centro
della circonferenza sia uguale al raggio.
Se
C
ha equazione
x
2
þ
y
2
4
x
þ
2
y
3
¼
0 e consideri il fascio
x y
þ
q
¼
0, rica-
vi
x
¼
y q
e sostituisci nell’equazione di
C
, tro-
vando 2
y
2
2
ð
1
þ
q
Þ
y
þ ð
q
2
þ
4
q
3
Þ ¼
0.
Dunque hai
¼
4
ðð
1
þ
q
Þ
2
2
ð
q
2
þ
4
q
3
ÞÞ ¼
¼
4
ð
q
2
þ
6
q
7
Þ ¼
4
ð
q
þ
7
Þð
q
1
Þ
. Pertanto
x y
þ
q
¼
0 e` esterna a
C
per
q
<
7 e
q
>
1,
tangente per
q
¼
7 e
q
¼
1, secante per
7
<
q
<
1. Avresti ottenuto lo stesso risultato no-
tando che
C
ha centro
ð
2
;
1
Þ
e raggio 2
ffiffiffi
2
p
, e cer-
cando le
tangenti
con l’equazione
j
2
ð
1
Þ þ
q
j
ffiffi
2
p ¼
2
ffiffi
2
p
.
1
2
3
y
–1
2 3 4
0
x
–2
–3
–4
1
0
–1 –2
5
Se cerchi le rette con coefficiente angolare 4 tangenti alla
circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
6
x
4
y
4
¼
0,
noti che
C
ha centro
ð
3
;
2
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffi
17
p
, quindi imponi
che
y
¼
4
x
þ
q
, cioe` 4
x
þ
y q
¼
0, abbia distanza
ffiffiffiffiffi
17
p
da
ð
3
;
2
Þ
. Trovi l’equazione
j
4 3
þ
2
q
j
ffiffiffiffiffi
17
p ¼
ffiffiffiffiffi
17
p
, ovvero
j
q
14
j ¼
17, da cui
q
¼
31 o
q
¼
3. Dunque le tangen-
ti sono
y
¼
4
x
þ
31 e
y
¼
4
x
3.
2
4
6
y
–2
4 6 8
0
x
2
0
–2
e
e
e
UNITA` 7
La circonferenza
303
O
x
y
CIRCONFERENZA
E FASCIO IMPROPRIO
DI RETTE
CURIOSITA`
Considera il fascio
improprio delle rette
parallele a uno spaghetto
appoggiato sul tavolo della
tua cucina. Trovare una
retta di tale fascio che sia
tangente alla circonferenza
di base di una lattina di
pelati e` molto facile: basta
che tu dia un colpetto col
dito allo spaghetto
facendolo rotolare finche´
non si ferma contro la
lattina. Pero` devi colpirlo
esattamente nel mezzo, e
con una forza appena
sufficiente a farlo arrivare
contro la lattina,
altrimenti non rimane
parallelo alla sua direzione
iniziale.