Basic HTML Version
a
C
, non le appartiene. E` anche vero che se per un punto passa una sola tangente a
C
allora il punto appartiene
a
C
. Inoltre e` vero che l’unica tangente a
C
del tipo
y
¼
m
ð
x
8
Þ
1 e` la retta 8
x
15
y
79
¼
0. Tuttavia devi
ricordare che il fascio di centro
P
¼ ð
8; 1
Þ
, oltre alle rette
y
¼
m
ð
x
8
Þ
1, contiene anche
x
¼
8. Dato che
x
0
þ
r
¼
8, in effetti anche
x
¼
8 e` tangente a
C
. Quindi la situazione e` coerente con quello che sai:
P
e` esterno a
C
e per
P
passano le due tangenti a
C
di equazioni 8
x
15
y
79
¼
0 e
x
¼
8.
Tangente a una circonferenza in un suo punto
Se fissi nel piano una circonferenza
C
, sai gia` che per un punto di
C
passa una
sola retta tangente a
C
. Ecco come trovare la sua equazione:
Regola
Considera nel piano cartesiano una circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 e un punto
P
1
¼
x
1
;
y
1
ð
Þ
su
C
. Allora l’equazione
della tangente
‘
a
C
in
P
1
si ottiene dall’equazione di
C
con le sostituzioni
x
2
?
x
1
x y
2
?
y
1
y
x
?
1
2
ð
x
1
þ
x
Þ
y
?
1
2
ð
y
1
þ
y
Þ
cioe`
‘
ha equazione
x
1
x
þ
y
1
y
þ
a
2
ð
x
1
þ
x
Þ þ
b
2
ð
y
1
þ
y
Þ þ
c
¼
0.
Dimostrazione
I passaggi sono i seguenti:
C
ha centro
P
0
¼ ð
x
0
;
y
0
Þ ¼
a
2
;
b
2
;
la retta
r
passante per
P
0
e
P
1
ha coefficiente angolare
y
1
y
0
x
1
x
0
¼
2
y
1
þ
b
2
x
1
þ
a
;
la tangente
‘
a
C
in
P
1
e` la retta perpendicolare a
r
e passante per
P
1
;
dunque
‘
ha equazione
y y
1
¼
2
x
1
þ
a
2
y
1
þ
b
ð
x x
1
Þ
;
tale equazione di
‘
equivale a 2
x
1
x
þ
2
y
1
y
þ
ax
þ
by
2
x
2
1
ax
1
2
y
2
1
by
¼
0, ovvero
anche a 2
x
1
x
þ
2
y
1
y
þ
a
ð
x
1
þ
x
Þ þ
b
ð
y
1
þ
y
Þ
2
ð
x
2
1
þ
y
2
1
þ
ax
1
þ
by
1
Þ ¼
0;
poiche´
P
1
appartiene a
C
hai
x
2
1
þ
y
2
1
þ
ax
1
þ
by
1
þ
c
¼
0, da cui
ð
x
2
1
þ
y
2
1
þ
ax
1
þ
by
1
Þ ¼
c
;
pertanto
‘
ha equazione 2
x
1
x
þ
2
y
1
y
þ
a
ð
x
1
þ
x
Þ þ
b
ð
y
1
þ
y
Þ þ
2
c
¼
0 e dividendo per 2
trovi l’equazione dell’enunciato.
3
Considera di nuovo il punto
ð
6;2
Þ
che appartiene alla circonferenza
C
di equazio-
ne
x
2
þ
y
2
6
x
þ
4
y
12
¼
0. Applicando direttamente le formule di sdoppia-
mento ottieni che la tangente a
C
passante per
ð
6;2
Þ
ha equazione
6
þ
2
y
3
ð
x
þ
6
Þ þ
2
ð
y
þ
2
Þ
12
¼
0, cioe` 3
x
þ
4
y
26
¼
0, come visto sopra.
CURIOSITA`
Molte citta` a italiane sono circondate da un anello stradale di forma approssimativamente
circolare chiamato
tangenziale
. La ragione e` che le corsie di raccordo che consentono
alle auto l’immissione e l’uscita sono poste lungo le tangenti alla circonferenza nei punti
di svincolo.
e
302
SEZIONE 2
Geometria analitica
TANGENTE
A UNA CIRCONFERENZA
IN UN PUNTO
Formule di sdoppiamento
La retta tangente
The tangent
PUNTUALIZZIAMO
Se
C
ha centro
nell’origine, sia
a
che
b
si
annullano e trovi la
forma semplificata
x
1
x
þ
y
1
y
þ
c
¼
0.