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ALLARGA
I TUOI ORIZZONTI
Angolo buio creato da un ostacolo cilindrico
Alcuni custodi sorvegliano il deposito di carburanti di un aeroporto, che ha ricevuto una
minaccia di attentato. Il deposito consiste di un’area recintata nella quale si trovano dei silos
cilindrici. Il responsabile della sicurezza deve predisporre le postazioni dei guardiani in modo
che tutto il perimetro del deposito sia sotto l’occhio di qualcuno. Per farlo deve considerare
che per ciascun guardiano ogni silos crea un ‘‘angolo buio’’ delimitato dalle due semirette che
escono dalla sua postazione e sono tangenti alla circonferenza di base del silos. Quindi le
postazioni devono essere sistemate in modo che l’intersezione di tutti gli ‘‘angoli bui’’ sia
disgiunta dal perimetro del deposito. Nella figura a lato (con due guardiani blu e due silos rosa)
vedi una situazione in cui la sicurezza non e` garantita.
Considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
6
x
þ
4
y
12
¼
0 e il punto
P
¼ ð
6;2
Þ
. Allora
C
ha centro
P
0
¼ ð
3; 2
Þ
e raggio
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
2
þ
2
2
þ
12
p
¼
5. Inoltre
PP
0
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
6 3
Þ
2
þ ð
2
þ
2
Þ
2
p
¼
5
¼
r
dunque
P
appartiene a
C
. Cerca ora tra le rette del fascio di centro
P
quale sia quella tangente a
C
. L’equazione del
fascio e`
y
¼
m
ð
x
6
Þ þ
2, ovvero
mx
þ
y
þ
6
m
2
¼
0, dunque de-
vi imporre la condizione
3
m
2
þ
6
m
2
j
j
=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
m
2
þ
1
p ¼
5
che ha la soluzione
m
¼
3
4
. Dunque la retta del fascio proprio di centro
P
tangente a
C
e` quella di equazione 3
x
þ
4
y
26
¼
0. Tutte le altre rette
del fascio, compresa
x
¼
6, che va aggiunta a
y
¼
m
ð
x
6
Þþ
2, sono se-
canti a
C
.
4
O
x
2
–2 –4
–2
2
y
4
Considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
8
x
8
y
þ
28
¼
0 e il punto
P
¼ ð
3;4
Þ
. Allora
C
ha centro
P
0
¼ ð
4;4
Þ
e raggio
r
¼
2. Dato che
PP
0
¼
1
<
2
¼
r
hai che
P
e` in-
terno a
C
. Il fascio proprio di centro
P
contiene le rette
y
¼
m
ð
x
3
Þ þ
4, ovvero
mx y
3
m
þ
4
¼
0, nonche´
x
¼
3. Sosti-
tuendo
y
¼
m
ð
x
3
Þ þ
4 nell’equazione di
C
, dopo qualche calcolo,
trovi un’equazione di secondo grado in
x
con discriminante 4 3
m
2
þ
4
ð
Þ
.
Questo valore e` sempre positivo, dunque vedi (come gia` sapevi) che la
retta interseca
C
in due punti. La retta
x
¼
3 (l’unica del fascio di centro
P
che non hai ancora esaminato) interseca
C
nei due punti 3;4
ffiffi
3
p
.
4
6
O
x
7
3 2 1
5
1
2
3
4
y
5
6
CACCIA
ALL’ERRORE
Considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
6
x
4
y
12
¼
0 e il punto
P
¼ ð
8; 1
Þ
. Per trovare quali
rette passanti per
P
sono tangenti a
C
sostituisci l’equazione
y
¼
m
ð
x
8
Þ
1 del fascio di centro
P
nell’equazione di
C
, e imponi che il discriminante sia nullo. Trovi l’unica soluzione
m
¼
8
=
15, quindi per
P
passa
un’unica tangente a
C
, di equazione 8
x
15
y
79
¼
0. Pertanto
P
appartiene alla circonferenza. Tuttavia
C
ha
centro
P
0
¼ ð
3;2
Þ
e raggio
r
¼
5, e
d P
;
P
0
ð
Þ ¼
ffiffiffiffiffi
34
p
>
r
, dunque
P
e` esterno a
C
.
Cosa c’e` che non va?
Il calcolo delle coordinate di
P
0
, di
r
e di
d P
,
P
0
ð
Þ
e` corretto, dunque
P
e` in effetti esterno
e
e
UNITA` 7
La circonferenza
301