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Caso
P
e` interno a
C
P
appartiene a
C
P
e` esterno a
C
Posizione
Tutte le rette del fascio sono
secanti a
C
Una retta del fascio e` tangen-
te a
C
, tutte le altre sono se-
canti
Due rette del fascio sono tan-
genti a
C
, infinite sono se-
canti e infinite sono esterne
Figura
O
x
y
P
O
x
y
P
O
x
y
P
Considera la circonferenza
C
di equazione
x
2
þ
y
2
þ
6
x
4
y
þ
8
¼
0 e il punto
P
¼ ð
1;0
Þ
. Il centro di
C
e`
P
0
¼ ð
3;2
Þ
e il raggio e`
r
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
2
þ
2
2
8
p
¼
ffiffi
5
p
. Dato che
PP
0
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4
2
þ
2
2
p ¼
2
ffiffi
5
p
>
r
il punto
P
e` esterno a
C
. Esamina ora il fascio di centro
P
, che contiene le rette di equazione
y
¼
m
ð
x
1
Þ
nonche´
x
¼
1. Quest’ultima retta ha distanza
j
3 1
j ¼
4
>
r
dal centro
P
0
di
C
, dunque e` esterna a
C
. Per una retta
‘
di equazione
y
¼
m
ð
x
1
Þ
hai invece
d P
0
,
‘
ð Þ ¼
3
m
2
m
j
j
=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
m
2
þ
1
p ¼
4
m
þ
2
j
j
=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
m
2
þ
1
p
.
Devi ora confrontare questa distanza con il raggio
r
¼
ffiffi
5
p
di
C
. Dopo qualche calcolo trovi i casi seguenti:
Condizione
Valori di
m
Posizione reciproca
d P
0
,
‘
ð Þ
<
r
8 5
ffiffi
3
p
=
11
<
m
<
8
þ
5
ffiffi
3
p
=
11
‘
e` secante a
C
d P
0
,
‘
ð Þ ¼
r
m
¼
8 5
ffiffi
3
p
=
11
‘
e` tangente a
C
d P
0
,
‘
ð Þ
>
r
m
<
8 5
ffiffi
3
p
=
11 oppure
m
>
8
þ
5
ffiffi
3
p
=
11
‘
e` esterna a
C
Puoi anche riottenere questa casisitica sostituendo
y
¼
m
ð
x
1
Þ
nell’equazione
x
2
þ
y
2
þ
6
x
4
y
þ
8
¼
0. Ricavi
l’equazione
x
2
m
2
þ
1
ð
Þ
2
m
2
þ
2
m
3
ð
Þ
x
þ
m
2
þ
4
m
þ
8
¼
0 che ha discriminante
¼
4 11
m
2
þ
16
m
1
ð
Þ
.
Imponendo le condizioni
>
0,
¼
0 e
<
0 ritrovi esattamente i tre casi della tabella. Puoi inoltre verificare
che i due punti di tangenza tra
C
e le rette del fascio sono 2
ffiffi
3
p
=
2;3
=
2
ffiffi
3
p
.
CIRCONFERENZA E FASCIO
PROPRIO DI RETTE
CON CENTRO ESTERNO
–1
2 3
O
x
–2 –3 –4
1
–5
1
2
3
4
y
–1
5
6
e
300
SEZIONE 2
Geometria analitica