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Algebricamente se
C
ha equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 e
‘
ha equazione
x
þ
y
þ ¼
0, per trovare
‘
\
C
devi risolvere il sistema
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0
x
þ
y
þ ¼
0
:
Se ricavi
x
oppure
y
dalla seconda equazione e poi sostituisci nella prima trovi
un’equazione di secondo grado. Chiamando il suo discriminante avrai allora
che
‘
e` secante a
C
se
>
0, e` tangente se
¼
0, ed e` esterna se
<
0.
Considera ancora la circonferenza
C
e le rette
‘
1
; ‘
2
; ‘
3
dell’esempio precedente. Comin-
ciando da
‘
1
hai il sistema
x
2
þ
y
2
þ
6
x
10
y
þ
30
¼
0
x y
þ
1
¼
0
:
Se ricavi
y
¼
x
þ
1 dalla seconda equazione e sostituisci nella prima trovi l’equazione
x
2
þ ð
x
þ
1
Þ
2
þ
6
x
10
ð
x
þ
1
Þ þ
30
¼
0
ovvero 2
x
2
2
x
þ
21
¼
0, che ha discriminante
¼
4
ð
1 2 21
Þ ¼
4 41
<
0,
dunque trovi conferma che
‘
1
e` esterna a
C
. Per
‘
2
hai invece
x
2
þ
y
2
þ
6
x
10
y
þ
30
¼
0
x
þ
y
1
¼
0
da cui
x
¼
1
y
e
ð
1
y
Þ
2
þ
y
2
þ
6
ð
1
y
Þ
10
y
þ
30
¼
0, ovvero 2
y
2
18
y
þ
37
¼
0. In
questo caso
¼
4
ð
9
2
2 37
Þ¼
4 7
>
0 e hai che
‘
2
e` secante a
C
, come sapevi. Trovi
anzi
y
¼
1
2
9
ffiffi
7
p
e concludi
che
‘
2
interseca
C
nei
punti
1
2
ffiffi
7
p
7 ;
1
2
9
þ
ffiffi
7
p
e
1
2
7
þ
ffiffi
7
p
;
1
2
9
ffiffi
7
p
. Infine per
‘
3
hai in mo-
do analogo che l’unico punto di intersezione, in cui
‘
3
e` tangente a
C
, e`
21
5
;
17
5
.
Nel caso particolare di una retta verticale o orizzontale trovare la sua posizione
rispetto a una circonferenza e` particolarmente semplice:
Regola
Rispetto alla circonferenza di centro
ð
x
0
;
y
0
Þ
e raggio
r
la retta verticale
x
¼
k
e` esterna se
j
k x
0
j
>
r
, tangente se
j
k x
0
j ¼
r
e secante se
j
k x
0
j
<
r
. La retta orizzontale
y
¼
k
e` invece esterna se
j
k y
0
j
>
r
, tan-
gente se
j
k y
0
j ¼
r
e secante se
j
k y
0
j
<
r
.
Rispetto alla circonferenza
C
:
x
2
þ
y
2
þ
4
x
6
y
36
¼
0 la retta
x
¼
5 e` tangente,
infatti
C
ha centro
ð
2
;
3
Þ
e raggio 7, e
j
5
ð
2
Þj ¼
7. Invece
y
¼
8 e` secante, e
y
¼
5 e` esterna, infatti
j
8 3
j
<
7 e
j
5 3
j
>
7.
Intersezione tra una circonferenza e un fascio proprio
Le possibilita` per l’intersezione di una circonferenza
C
con le rette di un fascio
proprio dipendono dalla posizione del centro del fascio relativamente a
C
:
Regola
Le rette del fascio proprio di centro
P
hanno le seguenti posizioni ri-
spetto a una circonferenza
C
:
e
e
UNITA` 7
La circonferenza
299
CURIOSITA`
In inglese si chiama ‘‘dress
circle’’ il primo ordine di
palchi in un teatro, perche´
era quello in cui
prendevano posto gli
spettatori vestiti piu`
elegantemente.
PUNTUALIZZIAMO
Una circonferenza di
centro
x
0
;
y
0
ð
Þ
e raggio
r
e` tangente all’asse delle
ascisse se e solo se
y
0
j j ¼
r
, all’asse delle
ordinate se e solo se
x
0
j j ¼
r
.