Basic HTML Version
y
O
x
r
y
0
x
0
y
O
x
x
0
–
r
x
0
–
r
y
O
x
x
0
–
r
x
0
–
r
y
¼
y
0
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r
2
ð
x x
0
Þ
2
q
y
¼
y
0
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r
2
ð
x x
0
Þ
2
q
Come gia` sai, per due punti distinti del piano passa una sola retta. L’analoga
proprieta` per la circonferenza e` la seguente:
per tre punti del piano non alli-
neati passa una e una sola circonferenza
. Nella prossima scheda trovi il me-
todo per descriverne l’equazione.
......................................................................................................................................................
Come si fa a...
trovare la circonferenza per tre punti
Considera tre punti
P
1
,
P
2
e
P
3
non allineati e chiama
C
la circonferenza che li contiene. Il
centro
P
0
di
C
e` equidistante da
P
1
,
P
2
e
P
3
, quindi appartiene all’asse dei segmenti
P
1
P
2
,
P
1
P
3
e
P
2
P
3
. In realta` per trovare
P
0
ti basta intersecare due di questi assi, e il raggio
r
di
C
e`
la distanza di
P
0
da uno qualsiasi tra
P
1
,
P
2
e
P
3
.
E
Parti dalle coordinate di tre punti
P
1
,
P
2
e
P
3
non allineati
E
P
1
¼ ð
3; 4
Þ
,
P
2
¼ ð
4; 5
Þ
,
P
3
¼ ð
5;2
Þ
E
Scrivi l’equazione dell’asse di
P
1
P
2
e
quella dell’asse di
P
2
P
3
E
L’asse di
P
1
P
2
ha equazione 7
x y
8
¼
0;
l’asse di
P
2
P
3
ha equazione
x
þ
7
y
þ
6
¼
0
E
Metti a sistema le due equazioni trovate
e risolvi ricavando le coordinate del cen-
tro
P
0
di
C
E
7
x y
8
¼
0
x
þ
7
y
þ
6
¼
0
ha soluzione
x
¼
1,
y
¼
1, dunque
P
0
¼ ð
1; 1
Þ
E
Calcola la distanza tra
P
0
e
P
1
, trovando
il raggio
r
di
C
E
r
¼
P
0
P
1
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð
3 1
Þ
2
þ
4
ð
1
Þ
ð
Þ
2
q
¼
5
E
Sostituisci le coordinate di
P
0
e il valore
di
r
in
x x
0
ð
Þ
2
þ
y y
0
ð
Þ
2
¼
r
2
, trovan-
do l’equazione di
C
E
C
ha equazione
ð
x
1
Þ
2
þ ð
y
þ
1
Þ
2
¼
5
2
, ovvero
x
2
þ
y
2
2
x
þ
2
y
23
¼
0
......................................................................................................................................................
L’equazione della circonferenza passante per
ð
2;2
Þ
,
ð
1;5
Þ
e 0;2 1
ffiffi
2
p
e` data da
x
2
þ
y
2
þ
2
x
4
y
4
¼
0.
ALLARGA
I TUOI ORIZZONTI
Ricerca algebrica della circonferenza per tre punti
Puoi affrontare la ricerca dell’equazione della circonferenza passante per i punti
P
1
¼
x
1
;
y
1
ð
Þ
,
P
2
¼
x
2
;
y
2
ð
Þ
e
P
3
¼
x
3
;
y
3
ð
Þ
anche dal punto di vista algebrico. Per farlo devi determinare i coefficienti
a
,
b
,
c
dell’equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 in modo che le coordinate di
P
1
,
P
2
e
P
3
appartengano alla circonferenza definita da
questa equazione, cioe` devi risolvere il sistema lineare
e
296
SEZIONE 2
Geometria analitica
.......................................................
Esistenza e unicita`
della circonferenza
per tre punti
CIRCONFERENZA
PER TRE PUNTI