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membri sono non negativi, elevando al quadrato ottieni un’equazione equivalen-
te, percio` :
Regola
La circonferenza di centro
x
0
;
y
0
ð Þ
e raggio
r
>
0 ha equazione
x x
0
ð
Þ
2
þ
y y
0
ð
Þ
2
¼
r
2
.
Nota che tutti i punti della circonferenza di cen-
tro
x
0
;
y
0
ð Þ
e raggio
r
hanno ascissa compresa tra
x
0
r
e
x
0
þ
r
e ordinata compresa tra
y
0
r
e
y
0
þ
r
.
O
x
y
y
0
y r
0
+
y
0
–
r
r
x
0
+
r
x
0
–
r
x
0
CURIOSITA`
Lo strumento con il quale disegni le circonferenze sul foglio e` il compasso. Per tracciare una
grande circonferenza di raggio
r
su un pezzo di terreno invece prendi due pioli legati insieme da
una corda di lunghezza
r
, pianti uno dei pioli nel centro e muovi l’altro piolo per segnare la
circonferenza, tenendo la corda tesa.
Regola
Ogni circonferenza ha un’equazione del tipo
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0
con
a
,
b
,
c
2
R
. Viceversa, una tale equazione definisce una circonferenza se e
solo se
a
2
þ
b
2
>
4
c
; in tal caso il centro e`
a
2
;
b
2
e il raggio e`
1
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
þ
b
2
4
c
p
.
Dimostrazione
Se parti dalla circonferenza di centro
ð
x
0
;
y
0
Þ
e raggio
r
e sviluppi i calcoli nell’equazione
x x
0
ð
Þ
2
þ
y y
0
ð
Þ
2
¼
r
2
ottieni
x
2
þ
y
2
2
x
0
x
2
y
0
y
þ
x
2
0
þ
y
2
0
¼
r
2
. Trovi dunque
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 ponendo
a
¼
2
x
0
,
b
¼
2
y
0
e
c
¼
x
2
0
þ
y
2
0
r
2
. Se invece parti
da
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 devi chiederti se puoi percorrere a ritroso il procedimento
precedente, cioe` devi stabilire sotto quali condizioni puoi riscrivere questa equazione come
x x
0
ð
Þ
2
þ
y y
0
ð
Þ
2
¼
r
2
. Siccome ‘‘all’andata’’ avevi posto
a
¼
2
x
0
e
b
¼
2
y
0
, ‘‘al ritorno’’
dovrai porre
x
0
¼
a
2
e
y
0
¼
b
2
. Inoltre ‘‘all’andata’’ avevi
c
¼
x
2
0
þ
y
2
0
r
2
, dunque ‘‘al
ritorno’’ avrai
r
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
0
þ
y
2
0
c
p
, ovvero
r
¼
1
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
þ
b
2
4
c
p
. Naturalmente puoi farlo solo
se
a
2
þ
b
2
4
c
>
0, dunque trovi la condizione enunciata nella regola. Nota che se
a
2
þ
b
2
¼
4
c
l’equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 definisce un singolo punto, mentre se
a
2
þ
b
2
<
4
c
definisce l’insieme vuoto.
3
PUNTUALIZZIAMO
La circonferenza di equazione
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0 ha centro nell’origine se e solo se
a
¼
b
¼
0
e passa per l’origine se e solo se
c
¼
0.
294
SEZIONE 2
Geometria analitica
TRA UN CONTO
E L’ALTRO
Tu dici sempre di
conoscere tutti i miei
lati! E se io fossi un
cerchio?!
LUOGO DI EQUAZIONE
x
2
þ
y
2
þ
ax
þ
by
þ
c
¼
0
Equazione di una
circonferenza
Equation of
a circle
ATTENZIONE!
L’equazione
x
2
þ
y
2
þ
1
¼
0 non
rappresenta una
circonferenza ma
l’insieme vuoto, infatti
x
2
þ
y
2
þ
1 e` positivo
per ogni valore di
x
e
y
.