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MODULO 1
ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
Michaela
:
Yes, please, so that perhaps I will remem-
ber it better. I was just drawing the shape. I ought to
demonstrate it in this obtuse triangle ABC.
Lorenzo
:
Well. Let’s send the height AH relative to the
side BC and consider the two right-angled trian-
gles ABH and ACH. Recalling that in a right-angled
triangle, the sine of an acute angle is equal to the
ratio between the opposite and hypotenuse sides
3
,
we can write
4
:
triangle ABH:
sin
sin
β
β
= ⇒ = ⋅
h
c
h c
triangle ACH
5
:
sin(180
sin
sin
° − = ⇒ = ⋅
° − = ⋅
γ
γ
γ
)
(
)
h
b
h b
b
180
Now applying the transitive property, equalling the
two expressions of
h
, we get:
sin
sin
c
b
⋅
= ⋅
β
γ
Now, dividing both sides by the product of
bc
, we
obtain the expression of the sine law:
c b
sin sin
γ
β
=
Michaela
:
That’s really easy. Thanks Lorenzo!
italiano
Michaela
: Sì, grazie, così magari poi lo ricordo meglio.
Stavo appunto facendo la figura, dovrei dimostrarlo in
questo triangolo ottuso ABC.
Lorenzo
: Bene. Mandiamo l’altezza AH relativa al lato
BC e consideriamo i due triangoli rettangoli ABH e
ACH. Ricordando che in un triangolo rettangolo il seno
di un angolo acuto è pari al rapporto tra cateto oppo-
sto ed ipotenusa, possiamo scrivere:
triangolo ABH:
sen
sen
β
β
= ⇒ = ⋅
h
c
h c
triangolo ACH:
sen(180
sen
sen
° − = ⇒ = ⋅
° − = ⋅
γ
γ
γ
)
(
)
h
b
h b
b
180
Applicando ora la proprietà transitiva, uguagliando le
due espressioni ottenute di
h
, otteniamo:
sen
sen
c
b
⋅
= ⋅
β
γ
Dividendo ora entrambi i membri per il prodotto dei due
lati
bc
otteniamo l’espressione del teorema dei seni:
c
b
sen sen
γ
β
=
Michaela
: È veramente facile, grazie Lorenzo!
inglese
1
In inglese,
teorema dei seni
si può tradurre come
sine rule
, o come
sine formula
, oppure
sine law
, co-
munque col termine seno al singolare. L’abbrevia-
zione di seno è
sin
(deriva dal latino
sinus
), come
indicato nei tasti delle calcolatrici. Inoltre, nel siste-
ma anglosassone le funzioni inverse sono impro-
priamente indicate applicando l’esponente –1 alle
funzioni dirette (es. sin
–1
, cos
–1
, ecc.).
2
In inglese,
antiorario
può essere tradotto come
counterclockwise
oppure
left-handed
, in analogia
all’italiano “sinistrorso”. Il vocabolo
counter
è un
false-friend
, perché in italiano si sarebbe portati a
tradurlo con “contato, misurato”, mentre in realtà
significa “contrario”.
3
Il termine
cateto
solitamente non viene tradotto,
ma si dice semplicemente l’opposto o l’adiacente,
sottintendendo il cateto opposto o il cateto adia-
cente. In certi casi, per evitare ambiguità, si usa il
termine
side
oppure
leg
.
4
Per indicare gli angoli, in genere gli inglesi non
usano le lettere dell’alfabeto greco: preferiscono
indicarli con le lettere maiuscole che individuano
il vertice.
5
Anche in Italia, al Liceo, in trigonometria si pre-
ferisce indicare l’angolo piatto con
π
piuttosto che
con 180°, dato che si usano molto più frequente-
mente i radianti dei gradi sessagesimali.
note