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Il secondo Novecento
1. Scienza moderna, pensiero matematico e logica
A cavallo tra Cinquecento e Seicento, le rivoluzionarie scoperte di Copernico, Keplero, Gali-
lei e Newton hanno portato alla nascita della “scienza moderna”. Allo stesso modo assistia-
mo, tra l’Ottocento e il Novecento, a
nuove scoperte rivoluzionarie
nel campo della
mate-
matica
, della logica e delle
scienze della natura
, che conducono a radicali mutamenti meto-
dologici e concettuali nel sapere scientifico: la scienza contemporanea è il risultato di questo
processo; la riflessione sulla logica e sulla matematica darà inoltre il via alla corrente filosofi-
ca analitica, i cui padri sono Moore, Russell e Wittgenstein.
Da una parte, l’evoluzione del sapere scientifico procede di pari passo con il progressivo di-
stacco dal piano dell’intuizione immediata. Nel pensiero matematico conquiste come la
scoperta delle
geometrie non euclidee
, la
teoria degli insiemi
e la nascita della
logica mo-
derna
avvengono solo grazie a un allontanamento da concezioni basate sull’intuizione co-
mune: con la distinzione dello spazio geometrico da quello della nostra esperienza quoti-
diana, con la liberazione dell’analisi dal ricorso all’evidenza geometrica o fisica per la com-
prensione dei suoi metodi e concetti, e con lo svincolamento della ricerca algebrica dalla
dimensione puramente quantitativa.
Dall’altra parte, il progresso scientifico è guidato anche dalla tendenza all’
unificazione delle
conoscenze
e
delle metodologie
via via acquisite, che procede parallelamente al loro svilup-
po e arricchimento.
Analogie strutturali
e
metodologiche
vengono individuate tra teorie na-
te e sviluppatesi in contesti del tutto diversi, suggerendo la
riduzione
delle une alle altre, co-
me nel caso dei tentativi di riduzione dell’analisi all’aritmetica, della matematica alla logica;
tecniche e concetti di un particolare settore matematico finiscono per risultare di utilità deci-
siva per risolvere questioni aperte in altre aree della matematica o in un’altra disciplina, come
nel caso della teoria dei gruppi, che nasce in un contesto puramente algebrico per poi diven-
tare uno strumento decisivo, prima nella geometria, e in seguito nella fisica.
Vediamo dunque come queste due linee conduttrici giungono a intrecciarsi in alcuni dei
momenti più significativi degli sviluppi della matematica tra l’Ottocento e il Novecento.
1.1 Le premesse matematiche
La
matematica
è tradizionalmente ritenuta la disciplina scientifica che meglio incarna l’ide-
ale di un
sapere esatto
e
certo
. Ma su che cosa riposa questa concezione? Qual è l’
oggetto
specifico
della conoscenza matematica, com’è essa stessa organizzata, quali sono le proce-
dure razionali che usa? E che cosa garantisce al sapere matematico la sua certezza, la sua ve-
rità?
Dai Greci in poi, e per oltre duemila anni, il modello per eccellenza del sapere rigoroso è
stato identificato negli
Elementi
di
Euclide
. Lo stesso Newton s’ispira ad essi nel dare forma
ai suoi
Principia
, e ancora oggi si trova utilizzata l’espressione
more geometrico
, “secondo il
metodo geometrico”, come sinonimo di
metodo rigoroso
. Quali caratteristiche ha dunque
l’opera euclidea per rivestire questo ruolo? Il punto fondamentale consiste nel metodo se-
guito: gli
Elementi
(scritti intorno al 330 a.C.) rappresentano una sistemazione di tutte le
conoscenze geometriche fino ad allora acquisite in una struttura di tipo
assiomatico
.
Un
sistema assiomatico
è un sistema di conoscenze costruito nel seguente modo:
•
le fondamenta sono costituite da un certo numero (il più ristretto possibile) di
concetti
primitivi
(cioè concetti che non vengono definiti attraverso altri concetti) e di
assiomi
o
proposizioni primitive
, che sono le proposizioni la cui verità non ha bisogno di essere di-
mostrata in quanto ritenuta di “immediata evidenza intuitiva”;
•
su questa base, attraverso la
definizione
di concetti nuovi a partire da quelli primitivi e la
dimostrazione
di proposizioni nuove o
teoremi
(applicando inferenze logiche) a partire
dagli assiomi, si deducono tutte le verità della teoria in oggetto. Attraverso questo meccani-
smo, l’evidenza irriducibile e intuitiva degli assiomi può trasmettersi, usando operazioni
puramente logiche, a tutti i teoremi che costituiscono il sistema teorico considerato.
Ma sono davvero evidenti le verità delle proposizioni primitive di un sistema assiomatico?
La nascita
della scienza
contemporanea
Il distacco
dall’intuizione
L’unificazione della
conoscenza
La certezza
matematica
Il modello euclideo
La struttura
assiomatica
Il problema
dell’evidenza
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