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E10
Lezione 1
pagina
28
La formulazione matematica
delle leggi fisiche
Proporzioni e frazioni
Molte volte si vedono proporzioni dirette scritte in
un’unica riga, ad esempio
a
:
b
=
c
:
d.
In fisica convie-
ne abituarsi a scrivere
sempre
le proporzioni usando le
frazioni:
b
a
d
c
=
Valgono naturalmente le stesse proprietà delle propor-
zioni, ovvero
ad
=
bc.
La proporzionalità diretta
Il termine è usato non solo per
y
=
kx
, che corrisponde
al diagramma di una linea retta passante per l’origine,
bensì per qualsiasi monomio con una potenza positiva.
In generale:
y
=
kx
n
(con
n
> 0). Per esempio:
y
=
kx
1/2
ossia
y x
=
All’aumentare di
n
, i grafici diventano sempre più ripi-
di, come indicato nel grafico delle seguenti proporzio-
ni dirette con potenze positive crescenti:
x
0
1
2
3
4
y x
= 0
1 1,414 1,732
2
y
=
x
0
1
2
3
4
y
=
x
2
0
1
4
9
16
y
=
x
3
0
1
8
27
64
x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
0 1 2
1
1
1
y
=
x
3
y
=
x
2
y
=
x
y
=
x
y
=
x
3
y
=
x
2
y
=
x
La proporzionalità inversa
y
x
k kx
n
n
–
= =
Come nelle proporzioni dirette, all’aumentare del
valore assoluto di
n
, il grafico di
y
=
kx
–
n
diventa sempre
più ripido. Osserva come cambia la funzione
y
=216/
x
n
mano a mano che
n
aumenta e completa la tabella:
x
0,5 1 2 3 4 5
6
y x
216 = 432 216 108 72
54
36
y x
216
2
=
216 54
24
6
y x
216
3
=
216 27
8
1
Come si comportano le proporzioni inverse per i valori
di 0<
x
<1? Riporta il valore dei calcoli nella tabella e
abbozza i grafici per 0 <
x
<1 secondo i valori calcolati.
Lezione 2
pagina
30
La funzione esponenziale
I concetti e le formule
La funzione esponenziale crescente
y=y
i
+
(
y
f
– y
i
) (1
– e
–t/
τ
)
dove
e
= 2,718
descrive processi transitori, per esempio la tem-
peratura dell’acqua di una pentola la cui tem-
peratura sale sempre più lentamente da 20°C a
100°C.
La funzione esponenziale decrescente
y=y
f
+
(
y
i
– y
f
)·
e
–t/T
è, per esempio, il modello matematico della tem-
peratura di un corpo che si raffredda sempre più
lentamente, o della velocità di un corpo che dimi-
nuisce a causa di una forza di attrito sempre più
debole.
1
Per dimostrare la funzione esponenziale decrescen-
te, un docente prende 64 monete e, dopo il lancio, toglie
solo quelle che sono cadute con la testa verso l’alto. Poi
lancia di nuovo le monete restanti e le seleziona nello
stesso modo di prima fino all’ultima moneta rimasta.
U
n
i
t
à
3
Il ruolo della matematica
nella fisica
E10
training
Flashcard
Test
Esercizi_U03_Fisica.indd 10
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