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Unita` B
Equazioni e sistemi di equazioni
29
Tavola 14
Equazioni binomie e trinomie biquadratiche
n
L’equazione:
3
x
3
81
¼
0
ammette la soluzione:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
81
3
3
r
¼
3
n
L’equazione:
81
x
4
1
¼
0
ammette le due soluzioni:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
81
4
r
¼
1
3
n
L’equazione:
x
4
þ
81
¼
0
non ammette soluzioni reali
L’equazione binomia
ax
n
þ
b
¼
0:
n
se
n
e` dispari
, ammette l’unica soluzione reale:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
n
se
n
e` pari
e
b
a
>
0, ammette due soluzioni reali:
x
1
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
e
x
2
¼ þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
n
se
n
e` pari
e
b
a
<
0, non ammette soluzioni reali
Per risolvere l’equazione 4
x
4
þ
3
x
2
1
¼
0:
n
poniamo
x
4
¼
y
2
e
x
2
¼
y
;
n
risolviamo l’equazione di 2 grado associata
4
y
2
þ
3
y
1
¼
0
ottenendo le soluzioni
y
1
¼
1 e
y
2
¼
1
4
n
risolviamo poi le equazioni binomie:
x
2
¼
1 che non ha soluzioni reali
e
x
2
¼
1
4
che ammette le soluzioni
x
1
,
2
¼
1
2
L’equazione trinomia biquadratica
ax
2
n
þ
bx
n
þ
c
¼
0
si risolve utilizzando il seguente procedimento:
n
si effettua la sostituzione:
x
2
n
¼
y
2
e
x
n
¼
y
n
si risolve l’equazione di 2 grado associata
ay
2
þ
by
þ
c
¼
0
ottenendo le eventuali radici
y
1
e
y
2
n
si risolvono le equazioni binomie:
x
n
¼
y
1
e
x
n
¼
y
2
Risolvi le seguenti equazioni binomie e trinomie biquadratiche.
171
243
x
5
1
¼
0;
x
4
81
¼
0;
16
x
4
þ
25
¼
0
:
x
¼
1
3
;
x
¼
3; impossibile in
R
172
x
3
ð
2
a b
Þ
3
¼
0;
x
3
þ
7
x
¼
0;
ffiffi
3
p
x
3
ffiffi
6
p ¼
0
:
173
2
x
6
þ
x
3
1
¼
0;
2
x
8
9
x
4
þ
4
¼
0;
18
x
6
15
x
3
216
¼
0
:
174
x
4
13
x
2
þ
36
¼
0
½
x
1
,
2
¼
2;
x
3
,
4
¼
3
175
3
x
4
22
x
2
45
¼
0
x
1
,
2
¼
3;
x
3
,
4
s
R
½
176
x
6
þ
5
x
3
24
¼
0
½
2;
ffiffi
3
3
p
Tavola 15
Soluzioni di equazioni di grado
n
x
2
14
x
þ
49
¼
0,
ð
x
7
Þ
2
¼
0,
ð
x
7
Þð
x
7
Þ ¼
0
ammette la radice 7 con molteplicita` 2.
ð
x
2
4
x
þ
4
Þ ð
x
2
3
x
þ
2
Þ ¼
0
e` equivalente all’equazione
ð
x
2
Þ
3
ð
x
1
Þ ¼
0,
ð
x
2
Þ ð
x
2
Þ ð
x
2
Þ ð
x
1
Þ ¼
0
ammette la soluzione
x
¼
2 con molteplicita` 3
e la soluzione
x
¼
1 con molteplicita` 1.
Si puo` dimostrare che
un’equazione razionale di grado
n
ad
un’incognita ammette al massimo
n
soluzioni reali
; si ha inoltre
che eventuali soluzioni non reali si presentano a coppie (coppie
di numeri complessi coniugati).
Una equazione di grado dispari, pertanto, ammette sempre una
soluzione reale, mentre un’equazione di grado pari puo` non
avere alcuna soluzione reale.
Una equazione puo` ammettere la stessa soluzione
n
volte; dire-
mo in questo caso che la soluzione in questione ha
molteplici-
ta`
n
.