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471
Sia
ABC
un triangolo isoscele rettangolo
in
A
e sia
AB
¼
AC
¼
2
a
. Detto
M
il punto
medio del cateto
AB
, determina sull’ipote-
nusa
BC
un punto
P
in modo che sia veri-
ficata una delle seguenti condizioni:
a)
PM
2
þ
PA
2
¼
81
25
a
2
b)
PA
2
þ
PB
2
¼
4
PM
2
(Detta
N
la proiezione ortogonale di
P
su
AB
, si consiglia, in entrambi i casi, di assu-
mere come incognita
BN
Þ
.
a)
BN
¼
2
a
5
,
11
a
10
;
b)
BN
¼
0,
a
472
Sia
ABC
un triangolo isoscele rettangolo
in
A
, sia
AB
¼
AC
¼
2
a
e sia
M
il punto
medio del cateto
AB
. Determina sul cateto
AC
un punto
P
in modo che, detta
N
la
sua proiezione ortogonale su
BC
, sia sod-
disfatta una delle seguenti condizioni:
a)
area del triangolo
PMN
¼
a
2
2
;
b)
PM
2
þ
PN
2
þ
MN
2
¼
31
a
2
8
.
(In entrambi i casi si consiglia di assumere
come incognita
PC
Þ
.
a)
PC
¼
a
, 2
a
;
b)
PC
¼
7
a
4
473
Dato il triangolo isoscele
AB
C rettangolo
in
A
, sia
M
il punto medio dell’ipotenusa
BC
e sia
AB
¼
AC
¼
2
a
:
Determina sul ca-
teto
AB
un punto
P
in modo che, detta
N
l’intersezione tra la parallela a
BC
condot-
ta da
P
ed il cateto
AC
, sia soddisfatta una
delle seguenti condizioni:
a)
area del quadrilatero
PMCN
¼
77
a
2
72
;
b)
PB
2
þ
PM
2
¼
31
a
2
18
:
a)
PB
¼
7
a
6
,
11
a
6
;
b)
PB
¼
a
6
,
5
a
6
474
Considera la figura nella quale
P
e` un generico punto del raggio
OC
. Per ciascuna delle se-
guenti uguaglianze:
a)
PA
2
þ
PB
2
þ
PC
2
¼
kr
2
;
b)
PA
þ
PB
þ
PC
¼
2
kr
;
c)
perimetro
ABP
ð
Þ ¼
2
kr
,
stabilisci i valori di
k
che corrispondono alle posizioni estreme di
P
sul raggio. Determina poi la
posizione di
P
per la quale si ha:
PA
2
þ
PB
2
þ
PC
2
¼
83
r
2
25
:
A
B
C
P
O r
r
Il raggio
CO
e` perpendicolare al
diametro
AB
e
P
e` un suo generico
punto.
a)
3 e 4;
b)
ffiffiffi
2
p
e
3
2
;
c)
2 e 1
þ
ffiffi
2
p
;
PO
¼
4
r
5
475
Il triangolo
ABC
della figura e` equilatero;
M
e` il punto medio del lato
AB
,
P
e` un generico
punto del lato
BC
ed
N
e` la proiezione ortogonale di
P
su
AC
.
A
B
C
P
N
M
AB
¼
BC
¼
CA
¼
a
;
AM
¼
MB
,
PN
?
AC
:
Determina la posizione di
P
in modo che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni:
a)
PM
2
þ
PA
2
¼
35
a
2
32
;
b)
PM
2
þ
PB
2
þ
PN
2
¼
a
2
.
a)
PB
¼
a
8
,
5
a
8
;
b)
PB
¼
0;
8
a
11
66
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari