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476
Il triangolo
ABC
della figura riportata e` rettangolo in
A
e
AB
¼
2
AC
¼
2
a
.
M
e` il punto medio del
cateto
AB
,
P
e` un generico punto dell’ipotenusa
BC
ed
N
ne e` la proiezione ortogonale su
AC
.
A
B
C
P
N
M
AB
¼
2
a
,
AC
¼
a
,
AM
¼
MB
,
PN
?
AC
:
Per ciascuna delle seguenti uguaglianze determina i valori di
k
corrispondenti alle posizioni
estreme di
P
:
a)
PA
2
þ
PB
2
¼
ka
2
;
b)
PN
2
þ
PM
2
¼
kPA
2
;
c)
perimetro
AMPN
ð
Þ ¼
ka
.
Determina poi la posizione di
P
per la quale si ha:
PA
2
þ
PB
2
¼
22
a
2
9
e la posizione di
P
per la quale si ha:
PM
2
þ
PN
2
¼
41
a
2
16
:
a)
4 e 6;
b)
5
4
e 2;
c)
2
þ
ffiffi
2
p
e 4;
PN
¼
4
a
3
;
16
a
15
;
PN
¼
3
a
2
477
Il triangolo
ABC
della figura e` equilatero e il suo lato misura
l
.
MNPQ
e` un rettangolo in esso
inscritto. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze stabilisci i valori di
k
che corrispondono alle
posizioni estreme di
M
sul lato
AC
:
a)
perimetro
MNPQ
ð
Þ ¼
kl
;
b)
NQ
2
¼
kl
2
;
c)
area
MNBQ
ð
Þ ¼
k
area
ABC
ð
Þ
.
A
B
C
P
N
Q
M
AB
¼
BC
¼
CA
¼
‘
il quadrilatero
MNPQ
e` un rettangolo
Determina poi la posizione di
P
per la quale si ha: area
MNBQ
ð
Þ ¼
5
8
area
ABC
ð
Þ
.
a)
ffiffi
3
p
e 2;
b)
3
4
e 1;
c)
0 e
1
2
;
MA
¼
l
2
;
5
l
6
478
Dato un triangolo equilatero
ABC
il cui lato sia 30
a
, conduci una parallela al lato
AB
che inter-
sechi gli altri due lati
AC
e
BC
in modo che, detti
E
ed
F
i punti di incontro della parallela con
detti lati, il trapezio
ABFE
abbia la somma dei quadrati delle misure della base minore e dei
due lati obliqui uguale a 1032
a
2
.
EC
¼
8
a
479
In un triangolo equilatero
ABC
il lato misura 10
a
. Conduci la corda
PQ
parallela al lato
AB
e
determinane la misura sapendo che l’area del triangolo isoscele che ha per base la corda stessa
e per vertice il punto medio
M
del segmento
AB
, e` uguale a
6
25
dell’area del triangolo dato.
PQ
¼
6
a
, oppure
PQ
¼
4
a
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
67