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b) Radici opposte
Affinche´ le radici dell’equazione [1] siano opposte, cioe` sia:
x
1
¼
x
2
e quindi
x
1
þ
x
2
¼
0, deve essere
b
a
¼
0
percio` :
2
k
þ
1
ð
Þ ¼
0 e quindi
k
¼
1.
k
¼
1 e` pertanto il valore per il quale le radici sono opposte. Verifichiamo questa conclusione sosti-
tuendo nell’equazione in esame il valore
k
¼
1; otteniamo:
x
2
þ
1
¼
0
che non ammette radici reali; si potrebbe tuttavia verificare, considerandone le soluzioni nell’insie-
me dei numeri complessi, che anche in questo caso le soluzioni e cioe`
x
1
¼
i
e
x
2
¼
i
, hanno som-
ma nulla.
c) Una radice e` nulla
Affinche´ una radice della [1] sia nulla, cioe` sia:
x
1
¼
0 e quindi
x
1
x
2
¼
0, deve essere
c
a
¼
0
percio` :
1
¼
0.
Poiche´ questa condizione non e` mai verificata, l’equazione data non potra` avere radici nulle per al-
cun valore attribuito al parametro
k
.
d) Radici reciproche
Affinche´ le radici della [1] siano reciproche tra loro, cioe` sia:
x
1
¼
1
x
2
e quindi
x
1
x
2
¼
1, deve essere
c
a
¼
1
e percio` , nel nostro caso:
1
1
¼
1.
Poiche´ quest’uguaglianza e` un’identita` , concluderemo che per ogni valore di
k
le radici sono tra loro
reciproche.
e) Una radice e` un numero prefissato
Affinche´ una radice dell’equazione [1] sia uguale, per esempio, a 2 e` necessario che l’uguaglianza
rappresentata dall’equazione sia soddisfatta attribuendo ad
x
questo valore; troveremo quindi per
quali valori di
k
una radice e` uguale a 2 sostituendo ad
x
, nell’equazione, il detto valore numerico e
risolvendo l’equazione in
k
cosı` ottenuta:
4 2
k
þ
1
ð
Þ
2
þ
1
¼
0
)
k
¼
1
4
:
Per verificare che il valore
k
¼
1
4
soddisfa la condizione richiesta sostituiamo tale valore nell’equa-
zione proposta e risolviamo l’equazione ottenuta: una delle radici dovra` essere uguale a 2. Infatti:
x
2
5
2
x
þ
1
¼
0
)
2
x
2
5
x
þ
2
¼
0
quindi:
x
1
¼
2 e
x
2
¼
1
2
.
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Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari