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f) La somma delle radici e` un numero prefissato
Affinche´ la somma delle radici sia, per esempio, 5, cioe` sia:
x
1
þ
x
2
¼
5, deve essere
b
a
¼
5
e quindi per la [1] deve essere:
2
k
þ
1
ð
Þ ¼
5
)
k
¼
3
2
.
Verifichiamo che per
k
¼
3
2
le radici dell’equazione proposta hanno per somma 5; sostituiamo tale
valore nell’equazione parametrica e risolviamo l’equazione numerica che cosı` si ottiene:
x
2
5
x
þ
1
¼
0;
x
1
¼
5
ffiffiffiffiffi
21
p
2
e
x
2
¼
5
þ
ffiffiffiffiffi
21
p
2
quindi:
x
1
þ
x
2
¼
5
ffiffiffiffiffi
21
p
2
þ
5
þ
ffiffiffiffiffi
21
p
2
¼
5
:
g) La somma dei quadrati delle radici e` un numero prefissato
Affinche´ la somma dei quadrati delle radici della [1] sia per esempio 7, cioe` sia:
x
2
1
þ
x
2
2
¼
7 o anche
x
1
þ
x
2
ð
Þ
2
2
x
1
x
2
¼
7
deve essere:
b
a
2
2
c
a
¼
7
quindi:
4
k
þ
1
ð
Þ
2
2
¼
7;
4
k
2
þ
8
k
þ
4 2 7
¼
0;
4
k
2
þ
8
k
5
¼
0
:
Dall’ultima equazione in
k
si ottiene che i valori del parametro che soddisfano la condizione richiesta
sono:
k
¼
1
2
e
k
¼
5
2
:
Verifichiamo queste conclusioni.
n
Per
k
¼
1
2
l’equazione proposta diventa:
x
2
3
x
þ
1
¼
0.
Risolvendola troviamo le soluzioni:
x
1
¼
3
ffiffi
5
p
2
e
x
2
¼
3
þ
ffiffi
5
p
2
la somma dei quadrati delle quali e` :
x
2
1
þ
x
2
2
¼
3
ffiffi
5
p
2
!
2
þ
3
þ
ffiffi
5
p
2
!
2
¼
9 6
ffiffi
5
p
þ
5
4
þ
9
þ
6
ffiffi
5
p
þ
5
4
¼
28
4
¼
7
:
n
Per
k
¼
5
2
l’equazione proposta diventa:
x
2
þ
3
x
þ
1
¼
0
:
Risolvendola troviamo le soluzioni:
x
1
¼
3
ffiffi
5
p
2
e
x
2
¼
3
þ
ffiffi
5
p
2
la somma dei quadrati delle quali e` :
x
2
1
þ
x
2
2
¼
3
ffiffi
5
p
2
!
2
þ
3
þ
ffiffi
5
p
2
!
2
¼
9
þ
6
ffiffi
5
p
þ
5
4
þ
9 6
ffiffi
5
p
þ
5
4
¼
28
4
¼
7
:
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
23