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9.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN TRINOMIO DI 2
o
GRADO
Consideriamo il trinomio di 2 grado:
f x
ð Þ ¼
ax
2
þ
bx
þ
c
con
a
,
b
,
c
numeri reali e proponiamoci di vedere
se tale trinomio e` o non e` scomponibile in fattori di grado piu` basso.
Sia:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
l’equazione ottenuta uguagliando a zero il trinomio.
Ricordiamo che se
b
2
4
ac
0 tale equazione ammette due radici reali
x
1
e
x
2
(distinte o coinciden-
ti); tali radici vengono dette
zeri del trinomio
.
Si ha inoltre che:
x
1
þ
x
2
¼
b
a
e
x
1
x
2
¼
c
a
:
Sfruttando queste relazioni il trinomio puo` venir scomposto nel seguente modo:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
a x
2
þ
b
a
x
þ
c
a
¼
a
½
x
2
ð
x
1
þ
x
2
Þ
x
þ
x
1
x
2
¼
¼
a x
2
x
1
x x
2
x
þ
x
1
x
2
¼
a x x x
1
ð
Þ
x
2
ð
x x
1
Þ
½
¼
a x x
1
ð
Þ
x x
2
ð
Þ
:
Otteniamo quindi:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
a x x
1
ð
Þ
x x
2
ð
Þ
:
Concludiamo allora enunciando la seguente regola:
Un trinomio di 2 grado, con discriminante non negativo, e` scomponibile nel prodotto di tre fatto-
ri, dei quali uno e` il coefficiente del termine di 2 grado e gli altri due sono le differenze tra la va-
riabile
x
e gli zeri del trinomio; se il discriminante e` negativo il trinomio non e` scomponibile.
Per quanto riguarda la natura dei fattori
x x
1
ð
Þ
e
x x
2
ð
Þ
dovremo distinguere due diversi casi:
n
se
>
0 i fattori
x x
1
ð
Þ
e
x x
2
ð
Þ
saranno distinti;
n
se
¼
0 i fattori
x x
1
ð
Þ
e
x x
2
ð
Þ
saranno coincidenti e quindi sara` :
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
a x x
1
ð
Þ
x x
1
ð
Þ ¼
a x x
1
ð
Þ
2
:
esempi
1
Scomponiamo il trinomio:
f x
ð Þ ¼
3
x
2
2
x
16
:
Poiche´ le soluzioni dell’equazione 3
x
2
2
x
16
¼
0 sono
8
3
e 2, sara` :
3
x
2
2
x
16
¼
3
x
8
3
ð
x
þ
2
Þ ¼ ð
3
x
8
Þ ð
x
þ
2
Þ
:
2
Semplifichiamo la frazione:
3
x
2
x
10
2
x
2
8
x
þ
8
:
Poiche´ le radici dell’equazione 3
x
2
x
10
¼
0 sono 2 e
5
3
e quelle dell’equazione 2
x
2
8
x
þ
8
¼
0
sono coincidenti e uguali a 2, avremo:
3
x
2
x
10
2
x
2
8
x
þ
8
¼
3
ð
x
2
Þ
x
þ
5
3
2
ð
x
2
Þ
2
¼
3
x
þ
5
2
ð
x
2
Þ
:
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Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari