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SEZIONE
A
Meccanica e principi di conservazione
104
Un effetto della forza di Coriolis si osserva nel turbinio del vento nei cicloni.
Se nell’atmosfera si crea un centro di bassa pressione, il vento tende a soffiare
verso il centro, ma nell’emisfero Nord la forza di Coriolis devia le molecole
d’aria verso destra rispetto alla loro traiettoria producendo un moto vorticoso
in verso antiorario
[
FIG.17
]
. Al contrario, nell’emisfero Sud i cicloni ruotano in
senso orario.
Un’immagine satellitare dell’uragano Katrina,
che causò la devastante inondazione di New
Orleans nell’agosto 2005.
ACHIEVING COMPETENCE IN REAL WORLD SCIENCE
Science versus myth: the Coriolis effect
It is commonly believed that in
the Northern Hemisphere water
always goes down the drains swir-
ling to the left (counterclockwise)
and in the Southern Hemisphere
it goes down swirling to the right
(clockwise). Is it true?
On the Earth like on a
merry-go-round
To answer this questionwemust take into account
the
Coriolis effect
. Basically, the Coriolis effect
refers to the way that the Earth’s eastward rota-
tion influences how we see the direction of travel
of moving objects.
Picture yourself at the center of a merry-go-
round (symbolizing the North Pole) spinning
counterclockwise. If you throw a ball straight
across to a person on the edge (the equator), the
ball will appear to turn to the right because that
person’s moving faster than you are.
Misconceptions and real facts
about the Coriolis effect
The merry-go-round makes complete rotations
several times a minute. Our planet, on the other
hand, spins around once every
24 hours: not enough to affect
a game of catch, such as base-
ball, or a flushing drain!
The things that really deter-
mine the direction in which
water leaves your sink are the
shape of the bowl and the
angle at which the liquid ini-
tially enters that bowl.
The Coriolis effect become noticeable only for
motions occurring over large distances and long
periods of time. For example, it deflects winds
and is responsible for the swirling motion of the
air flow in hurricanes.
The Coriolis effect considerably influences ocean
currents and aircraft flights, as well.
Choose the right answer
As a result of the Coriolis effect, a missile fired
northward from the equator will seem to be
deflected:
a
too far to the north
b
too far to the south
c
toward the west
d
toward the east
SPIEGALO TU
5.
In che cosa differisce la
forza centrifuga dalla forza
centripeta?
6.
Perché la riva destra dei fiumi
che scorrono da Sud verso
Nord nell’emisfero setten-
trionale è sempre più erosa
della riva sinistra?
Nord
Sud
Ovest
Est
FIG. 17
–
La forza di Coriolis
influenza i moti delle masse d’aria.
Soffiando verso un centro di bassa pressione,
nell’emisfero Nord i venti producono un
vortice antiorario.
Sommario
ragionato,
mirato sul ripasso,
suddiviso in “Definizioni”,
“Concetti, leggi e principi”
e “Applicazioni”.
Più matematica,
paragrafi e sottoparagrafi
dedicati all’approfondimento
dei formalismi matematici.
Strategie di problem solving,
problemi ragionati e articolati che
affinano le strategie per risolvere in modo
consapevole i problemi di fisica.
Schede di approfondimento
Achieving
competence in
real world science,
brevi schede in inglese
che favoriscono
l’apprendimento integrato
di lingua e contenuti (CLIL).
SEZIONE
A
Meccanica e principi di conservazione
36
Come moltiplicare un vettore
per un altro
Fra vettori si definiscono due tipi di prodotto: il
prodotto scalare
e il
prodotto vettoriale
.
Entrambi possono essere eseguiti fra coppie qualsiasi di vettori. Le
dimensioni fisiche dei loro risultati sono uguali al prodotto delle dimen-
sioni dei vettori di partenza.
Il prodotto che dà come risultato uno scalare
Consideriamo due vettori
a
→
e
b
→
e chiamiamo l’angolo formato dalle
loro direzioni.
Il prodotto scalare fra
a
→
e
b
→
, che indichiamo con
a
→
·
b
→
(leggi: “a scalare
b”), è una grandezza
scalare
definita come il prodotto dei moduli
a
e
b
dei
due vettori per il coseno dell’angolo fra essi compreso:
a
→
·
b
→
=
a b
cos
Il prodotto scalare è positivo o negativo a seconda che l’angolo sia
minore o maggiore di 90°. È inoltre uguale a zero se è
=
90°. In altri
termini,
se due vettori sono perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo
.
In
FIG. 31
sono rappresentati due vettori
a
→
e
b
→
con origine nello stesso
punto
O
. La perpendicolare a
b
→
passante per il secondo estremo
A
di
a
→
individua lungo la direzione di
b
→
il punto
A
: il modulo del vettore
O
−→
A
,
preceduto dal segno positivo o negativo a seconda che
O
−→
A
punti nel
verso di
b
→
o nel verso opposto, è la componente scalare
a
//
di
a
→
lungo la
direzione di
b
→
, o
proiezione perpendicolare
di
a
→
su
b
→
. Detto l’angolo com-
preso fra
a
→
e
b
→
, si ha:
a
//
=
a
cos
Allo stesso modo, la componente scalare
b
//
di
b
→
lungo la direzione di
a
→
,
o proiezione perpendicolare di
b
→
su
a
→
,è il modulo del vettore
O
−→
B
prece-
duto dal segno positivo o negativo a seconda che
O
−→
B
punti nel verso di
a
→
o nel verso opposto:
b
//
=
b
cos
Pertanto, il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto della
proiezione di un vettore sull’altro per il modulo di quest’ultimo:
a
→
·
b
→
=
a
//
b
=
a
b
//
Altre proprietà del prodotto scalare sono:
•
la proprietà commutativa:
a
→
·
b
→
=
b
→
·
a
→
•
la proprietà distributiva rispetto alla somma: (
a
→
+
b
→
) ·
c
→
=
a
→
·
c
→
+
b
→
·
c
→
b
a
A
B
O
A
a
//
b
a
A
B
O
b
//
B
b
a
A
B
O
A
a
//
b
a
A
B
O
b
//
B
La quantità
b
//
=
b
cos
è la componente
scalare del vettore
b
→
lungo la direzione di
a
→
.
La quantità
a
//
=
a
cos
è la componente
scalare del vettore
a
→
lungo la direzione di
b
→
.
FIG. 31
–
Proiezione perpendicolare
di un vettore su un altro.
PIÙ MATEMATICA
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
UNITÀ
3
105
STRATEGIE DI
PROBLEM SOLVING
PROBLEMA
1
Sullo
skateboard
pensando alla
fisica
Un ragazzo lascia cadere
una pallina dall’altezza di
1,70 m nell’istante in cui, da fermo, si mette in movi-
mento con il suo skateboard su una strada orizzontale.
Supponiamo che con la prima spinta, durante la caduta
della pallina, lo skateboard acceleri uniformemente con
un’accelerazione di 1,00 m/s
2
rispetto al suolo.
Qual è, nel tempo di caduta, lo spostamento relativo
lungo la direzione orizzontale fra la pallina e lo skate-
board? Qual è, in modulo, l’accelerazione della pallina
rispetto allo skateboard?
Analisi della situazione fisica
Esaminiamo il moto della pallina rispetto al sistema di
riferimento dello skateboard e fissiamo, come nel dise-
gno, una coppia di assi cartesiani
O x y
, avente l’origine
nella posizione iniziale della pallina, l’asse
x
diretto nel
verso dell’accelerazione
a
→
dello skateboard e l’asse
y
diretto verticalmente verso il basso. Questo sistema si
muove, rispetto al suolo, di moto accelerato e quindi è
un sistema non inerziale.
Sulla pallina di massa
m
agisce pertanto, oltre al peso
P
→
=
m g
→
, anche la forza apparente
F
→
a
= −
m
a
→
. Pertanto,
per il secondo principio della dinamica, indicando con
a
→
l’accelerazione della pallina rispetto allo skateboard,
possiamo scrivere:
m g
→
−
m
a
→
=
m
a
→
a
→
=
g
→
−
a
→
Uguagliando le componenti cartesiane di ambo i mem-
bri di questa relazione vettoriale rispetto agli assi
x
e
y
,
otteniamo:
a
x
= −
a
a
y
=
g
Possiamo notare che i moti componenti secondo gli assi
x
e
y
del moto complessivo della pallina sono entrambi
accelerati con accelerazione costante: rispettivamente,
−
a
e
g
. Tenuto conto che la velocità iniziale della pallina
è nulla e che essa comincia a cadere dall’origine degli
assi
O
, le equazioni orarie sono:
x
= −
1
2
a t
2
y =
1
2
g t
2
Di conseguenza, la traiettoria della pallina rispetto al
sistema
O x y
solidale con lo skateboard è la retta di
equazione:
y =
−
g
a
x
Per
y
=
h
, con
h
altezza dal suolo del punto
O
da cui viene
lasciata cadere la pallina, troviamo il valore
x
=
d
che
esprime lo spostamento orizzontale compiuto, durante
la caduta, dalla pallina rispetto allo skateboard.
Rispetto al sistema
O x y
, il moto della pallina durante
la caduta avviene con accelerazione costante di modulo:
a
=
2
2
2
2
a a
a g
x
y
+ = +
Dati e incognite
h
=
1,70 m
a
=
1,00 m/s
2
d
=
?
a
=
?
Soluzione
Ponendo
y
=
h
e
x
=
d
, ricaviamo dall’equazione
della traiettoria lo spostamento orizzontale
d
:
h
= −
g
a
d
d
a h
g
1,00m/s 1,70m
9,81m/s
0,173m
2
2
(
)
(
)
=− −
=
L’accelerazione della pallina nel sistema di riferi-
mento non inerziale dello skateboard è:
(1,00m/s ) (9,81m/s )
2
2
2 2
2 2
a
a g
= + =
+
Impara la strategia
Ricorda che l’accelerazione di un oggetto in movimento
è invariante rispetto al passaggio da un sistema di riferi-
mento inerziale a un altro sistema di riferimento inerziale.
Invece, se uno dei due sistemi rispetto ai quali si vuole
descrivere il moto è non inerziale, le accelerazioni si
compongono vettorialmente. In questo problema si
è presa in considerazione una caduta libera e quindi,
essendo
g
→
l’accelerazione dell’oggetto nel sistema di
riferimento inerziale della Terra, vale la relazione:
g
→
=
a
→
+
a
→
con
a
→
accelerazione dell’oggetto rispetto al sistema
non inerziale e
a
→
accelerazione di tale sistema rispet-
to alla Terra. A questo stesso risultato, prima, siamo
giunti analizzando il moto rispetto al sistema non
inerziale e ricorrendo alla forza apparente.
x
'
y
'
O
'
h
d
a
Sommario
SEZIONE
A
Meccanica e principi di conservazione
150
Il
lavoro di una forza costante
F
→
applicata a un punto materiale che
compie uno spostamento
s
→
è il pro-
dotto
L
=
F
//
s
della componente scala-
re
F
//
della forza lungo
s
→
per il modulo
di
s
→
. Equivalentemente è
L
=
F
//
.
Nel SI il lavoro si misura in
joule
(J):
1 J
=
1 N · m.
La
potenza
è la rapidità con cui è eseguito un lavo-
ro. La
potenza media P
m
sviluppata da una forza è
il rapporto fra il lavoro
L
compiuto dalla forza in
un intervallo di tempo
t
e l’intervallo di tempo
stesso:
P
L
t
m
=
Il valore a cui tende la potenza media quando
l’intervallo di tempo
t
si restringe intorno a un
preciso istante rappresenta la
potenza istantanea
, o
potenza
. Se in un certo istante un corpo si muove
con velocità di modulo
v
, sotto l’azione di una forza
che nello stesso istante agisce con intensità
F
nella
direzione e nel verso del moto, la potenza sviluppa-
ta dalla forza è
P
=
F v
.
Nel SI la potenza si misura in
watt
(W): 1 W
=
1 J/s.
Una forza il cui lavoro dipenda dallo stato iniziale e
dallo stato finale del corpo sul quale agisce, ma non
dagli stati intermedi, è detta
forza conservativa
.
Solo a una forza conservativa può essere associata
un’energia potenziale
U
. La forza gravitazionale e la
forza elastica sono conservative.
L’
energia meccanica
è la capacità di un corpo di
compiere lavoro in virtù della sua velocità (
energia
cinetica
), della sua posizione (
energia potenziale gravi-
tazionale
) o deformazione (
energia potenziale elastica
).
Energia cinetica
di un corpo di massa
m
e velocità
v
→
:
K m v
=
1
2
2
Energia potenziale gravitazionale
di un corpo di
massa
m
ad altezza
h
da un livello di riferimento:
U
g
=
m g h
Energia potenziale elastica
di una molla di
costante elastica
k
deformata di un tratto
s
:
U k s
e
=
1
2
2
Il moto di un fluido è
stazionario
se la velocità del fluido
in ogni punto è costante nel tempo. La
portata
di un
condotto è il rapporto
Q
=
∆
V
/
∆
t
fra il volume di flui-
do
∆
V
che attraversa conmoto stazionario una sezione
trasversale del condotto in un intervallo di tempo
∆
t
e
l’intervallo di tempo stesso.
DEFINIZIONI
Il
teorema dell’energia cinetica
afferma che il lavoro totale
L
tot
compiu-
to su un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica
K
del corpo:
L
tot
=
K
. Se il modulo della velocità del corpo passa da
v
1
a
v
2
si ha:
= −
L
m v
m v
1
2
1
2
tot
2
2
1
2
L’energia meccanica di un sistema non
si conserva se su di esso compiono
lavoro forze non conservative. Per il
teorema lavoro-energia
, il lavoro
L
nc
di queste forze è uguale alla variazione
E
dell’energia meccanica del sistema:
L
nc
=
E
=
K
2
+
U
2
−
(
K
1
+
U
1
)
Le forze di attrito sono
non conservati-
ve
. Essendo sempre orientate in verso
opposto rispetto al moto, compiono
un lavoro
L
nc
negativo e fanno dimi-
nuire l’energia meccanica totale.
Secondo il
principio di conservazione dell’energia meccanica
, se su
un sistema eseguono lavoro solo forze conservative, l’energia meccanica
del sistema si mantiene costante. Se
K
1
e
U
1
sono l’energia cinetica e
l’energia potenziale del sistema in uno stato, e
K
2
e
U
2
le stesse in un
altro stato, vale la relazione
K
2
+
U
2
=
K
1
+
U
1
CONCETTI, LEGGI E PRINCIPI
F
s
F
s
s
F
FLASHCARD
FISICA E TECNOLOGIA
SEZIONE
A
Meccanica e principi di conservazione
30
GPS: la cinematica ai tempi della globalizzazione
Il sistema di navigazione satellitare GPS (
Global Positioning System
) si serve di una costellazione di
satelliti, in orbita a una distanza di circa 20 000 km, che diffondono segnali radio coprendo l’intera
superficie terrestre. Chiunque, con un comune ricevitore GPS, può determinare istante per istante
la propria posizione sulla Terra con un errore di pochi metri.
Le origini
e l’evoluzione del
sistema di navigazione
satellitare
Il GPS fu progettato e sviluppato per
scopi militari negli USA a partire dal
1973 e divenne pienamente opera-
tivo una ventina di anni più tardi.
Inizialmente i segnali trasmessi dai
satelliti venivano intenzionalmente
distorti affinché la precisione con cui
potevano essere effettuate le rileva-
zioni a uso civile risultasse ridotta.
La massima potenzialità del sistema
GPS era accessibile solo alle forze
armate americane.
Dall’anno 2000, invece, il servizio è
pienamente accessibile a tutti.
I satelliti GPS erano in origine 24 e
disposti su sei piani orbitali, ugual-
mente distanziati, inclinati di 55°
rispetto al piano equatoriale della
Terra. Attualmente il numero dei sa-
telliti attivi è aumentato e la con-
figurazione della costellazione GPS
non è più così regolare. Avere a
disposizione più satelliti rende più
precise le misure e più affidabile il
sistema. In media otto satelliti sono
avvistabili (sopra la linea dell’oriz-
zonte) da ogni punto in ogni istante.
Come alternativa al
Global Positio-
ning System
, controllato dal Diparti-
mento della Difesa degli Stati Uniti,
l’Unione Europea ha in progetto il
completamento di un altro sistema,
il
Galileo Positioning System
.
I satelliti e le stazioni
a terra
Ciascun satellite della costellazione
GPS trasmette continuamente dei se-
gnali da cui ricavare informazioni sui
parametri orbitali e un riferimento ora-
rio che serve a determinare gli istanti
di trasmissione dei segnali stessi.
Gli orologi interni e le orbite dei satel-
liti sono controllati da stazioni situate
a terra, in grado di apportare corre-
zioni al segnale quando necessario.
La ricezione dei segnali
e il calcolo della
posizione
Il principio di funzionamento del GPS
è piuttosto semplice: captando i se-
gnali emessi dai satelliti in orbita il ri-
cevitore elabora la propria posizione in
base ai tempi di propagazione rilevati.
Indicando con
t
il tempo impiegato
dal segnale a percorrere la distanza
di un dato satellite dal ricevitore e
con
c
la velocità di propagazione
(velocità della luce nel vuoto e in
generale velocità delle onde elettro-
magnetiche, fra cui le onde radio), la
distanza satellite-ricevitore è
r
=
c t
.
Nello spazio tridimensionale i pun-
ti che soddisfano questa relazione
individuano una superficie sferica,
avente come centro la posizione
istantanea occupata dal satellite
nell’istante di invio del segnale e
raggio pari alla distanza misurata
r
.
Il ricevitore può occupare qualsiasi
punto su tale superficie.
Avendo a disposizione due satelliti, lo
stesso ricevitore può effettuare due
misure di distanza, individuando così
due superfici sferiche che si interse-
cano in una circonferenza: l’insieme
delle possibili posizioni del ricevitore
si restringe ai punti di questa circonfe-
renza. Aggiungendo una terza misura
si individua un’altra superficie sferica
che, intersecandosi con la circonferen-
za, riduce a due sole le posizioni possi-
bili del ricevitore
[
FIG.A
]
.
Geometricamente, disponendo di un
quarto satellite, la posizione diventa
determinata in maniera univoca.
Gli inevitabili errori di misura hanno
soprattutto origine dal fatto che
l’orologio di cui dispone il ricevitore
è relativamente impreciso e non per-
fettamente sincronizzato con quelli
a bordo dei satelliti. A causa dell’ele-
vato valore della velocità della luce
(
c
=
3,00 · 10
8
m/s) un piccolo erro-
re nella misura del tempo si traduce
infatti in un grosso errore nella valu-
tazione della distanza.
Dalla misura della
posizione ai vettori
spostamento e velocità
Un ricevitore GPS non determina la
sua posizione una sola volta, ma cap-
ta costantemente i segnali dei satelliti
e calcola come varia la sua posizione
al trascorrere del tempo. Anche in un
intervallo di tempo molto breve, il nu-
mero di letture effettuate è sufficiente
per calcolare la velocità (in modulo,
direzione e verso) di un’automobile
che abbia il ricevitore a bordo.
Tre superfici sferiche si intersecano in due
punti.
Due superfici sferiche si intersecano in una
circonferenza.
FIG. A
La geometria su cui si basa il GPS.
PROTAGONISTI DELLA FISICA
SEZIONE
A
Meccanica e principi di conservazione
172
Le interazioni secondo Cartesio e Leibniz
I primi tentativi di individuare le proprietà che non cambiano durante le interazioni fra i corpi
furono effettuati da Cartesio
[
FIG.A
]
e Leibniz
[
FIG. B
]
. I due filosofi sostennero teorie diverse, en-
trambe erronee, che tuttavia contribuirono alla definizione della quantità di moto e dell’energia,
due grandezze la cui conservazione è ritenuta ancora oggi un principio universalmente valido in
tutti i processi fisici.
FIG.A
–
Il filosofo e matematico francese
René Descartes (1596-1650), italianizzato
in Cartesio, enunciò esplicitamente
e correttamente, prima di Newton,
il principio d’inerzia.
FIG. B
–
Gottfried Leibniz (1646-1716)
ideò, come Newton e indipendentemente
dal fisico inglese, il calcolo infinitesimale.
Una quantità di moto
imperfetta
Secondo Cartesio, tutti i fenome-
ni naturali si interpretano in base
all’assunto che la materia sia stata
dotata, fin dalla creazione, di due
fondamentali qualità: l’estensione e
il movimento. Per il filosofo francese
ogni corpo poteva cambiare veloci-
tà, disgregarsi o combinarsi con altri
corpi per effetto degli urti, cioè delle
interazioni meccaniche fra le varie
forme di materia.
Come misura del movimento di un
corpo, Cartesio indicò il prodotto
m v
della massa per la velocità, denomi-
nando questa grandezza “quantità
di moto”. Egli tralasciò, tuttavia, di
attribuire alla velocità una natura
vettoriale: la sua quantità di moto
era solo il modulo della grandezza
che oggi chiamiamo con lo stesso
nome.
Cartesio immaginava che due corpi
interagenti modificassero il proprio
movimento scambiando, tutta o in
parte, la quantità di moto. Se, do-
po l’interazione, un corpo possedeva
più quantità di moto di quanta ne
avesse in precedenza, l’altro ne pos-
sedeva di meno. In tutte le trasfor-
mazioni dell’universo, la quantità di
moto complessiva doveva rimanere
costante, pur potendosi distribuire
in modo diverso fra i vari corpi.
Evidentemente Cartesio non aveva
pensato ai processi di esplosione,
nei quali un sistema in quiete si di-
vide in parti che si allontanano l’una
dall’altra. In questi processi la gran-
dezza introdotta dal filosofo, inizial-
mente nulla rispetto a un sistema di
riferimento, diventa improvvisamen-
te diversa da zero rispetto allo stesso
sistema.
La forza viva antenata
dell’energia
Alla conservazione della quantità di
moto di Cartesio, Leibniz contrap-
pose la conservazione della “forza
viva”. Generalizzando gli studi sugli
urti condotti dall’olandese Christia-
an Huygens (1629-1695), egli definì
come forza viva di un corpo il pro-
dotto
m v
2
fra la massa e il quadrato
della velocità.
L’intento di Leibniz era quello di
contrapporre alla filosofia meccani-
cistica di Cartesio una concezione
finalistica della realtà. Per lui le par-
ti dell’universo non erano porzioni
inerti di materia in movimento, ma
attivi concentrati di forza: l’estensio-
ne stessa dei corpi, così come la loro
impenetrabilità, era una manifesta-
zione della forza intrinseca di cui
erano dotati. Attribuire una vitalità
alla materia significava riconoscere
in essa una tendenza, che Leibniz
aveva anche espresso con il termine
latino
conatus
(“sforzo”), verso uno
scopo finale.
È facile constatare che neanche la
forza viva di Leibniz, che a meno
di un fattore costante adimensiona-
le oggi chiamiamo energia cinetica,
si mantiene costante durante una
esplosione.
Consapevole che in alcuni fenome-
ni la forza viva sembra crearsi o
dissolversi, Leibniz suggerì che, pur
sfuggendo alla nostra esperienza
sensibile, essa fosse immagazzinata
all’interno dei corpi stessi. Il princi-
pio di conservazione dell’energia co-
minciò a prendere forma da questa
congettura metafisica.
I_XVI_CaforioSCI_Romane_V1.indd 4
16/11