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come e perché
1
Dal diagramma orario alla velocità
a.
La velocità scalare media nell’intervallo di tempo
D
t
=
t
2
−
t
1
è la pendenza della retta secante che passa
per i punti
P
1
e
P
2
del diagramma orario, cioè il rapporto
v
m
=
D
D
s
t
fra la differenza
D
s
delle ordinate e la differenza
D
t
delle ascisse di due punti qualsiasi della secante.
b.
La velocità scalare istantanea in qualsiasi istante
t
di
tempo è la pendenza della retta tangente al diagram-
ma orario nel punto
P
di ascissa
t
, cioè il rapporto
v
=
D
D
s
t
fra la differenza
D
s
delle ordinate e la differenza
D
t
delle ascisse di due punti qualsiasi della tangente.
s
O
t
t
1
s
2
t
1
s
1
P
1
P
2
t
s
s
O
t
t
s
s
s
t
t
P
Q
t
s
s
O
t
t
1
s
2
t
1
s
1
P
1
P
2
t
s
s
O
t
t
s
s
s
t
t
P
Q
t
s
Le risposte della fisica
1
Un punto materiale si muove lungo una retta orienta-
ta
Os
. La sua coordinata
s
in ogni istante
t
è espressa
dalla legge oraria
s
=
5
t
2
+
1, in cui
s
è espressa in
metri e
t
in secondi.
Determiniamo la velocità scalare media del punto ne-
gli intervalli compresi fra:
• 2,000 00 s e 3,000 00 s;
• 2,000 00 s e 2,100 00 s;
• 2,000 00 s e 2,010 00 s.
Calcoliamo inoltre la velocità scalare istantanea quan-
do sono trascorsi 2,000 00 s.
Dati e incognite
s
=
5
t
2
+
1
t
0
=
2,000 00 s
t
1
=
3,000 00 s
t
2
=
2,100 00 s
t
3
=
2,010 00 s
v
m
1
=
?
v
m
2
=
?
v
m
3
=
?
v
=
?
Soluzione
Determiniamo innanzitutto qual è la posizione assunta
dal punto materiale lungo la retta orientata nei vari
istanti di interesse. La coordinata
s
:
• nell’istante
t
0
è
s
0
=
[5 (2,000 00)
2
+
1] m
=
=
21,0000 m;
• nell’istante
t
1
è
s
1
=
[5 (3,000 00)
2
+
1] m
=
=
46,0000 m;
• nell’istante
t
2
è
s
2
=
[5 (2,100 00)
2
+
1] m
=
=
23,0500 m;
• nell’istante
t
3
è
s
3
=
[5 (2,010 00)
2
+
1] m
=
=
21,2005 m.
Come si legge questa legge? Calcoliamo la velocità dalla legge oraria
Ora possiamo calcolare le velocità scalari medie richieste:
v
m
1
=
s s
t t
1 0
1 0
−
−
=
46 0000 21 0000
3 00000 2 00000
,
,
,
,
−
−
m/s
=
25,0000 m/s
v
m
2
=
s s
t t
2 0
2 0
−
−
=
23 0500 21 0000
2 10000 2 00000
,
,
,
,
−
−
m/s
=
20,5000 m/s
v
m
3
=
s s
t t
3 0
3 0
−
−
=
212005 21 0000
2 01000 2 00000
,
,
,
,
−
−
m/s
=
20,0500 m/s
Notiamo che più l’intervallo di tempo considerato,
comprendente
t
0
, diventa piccolo, più la velocità sca-
lare media si avvicina a 20,0000 m/s. Possiamo quindi
aspettarci che sia proprio questo il valore assunto dal-
la velocità scalare istantanea in
t
0
=
2,000 00 s.
Dalla (3), osservando che la variazione della coordina-
ta dopo che è trascorso un intervallo di tempo
D
t
a
partire da un certo istante
t
è
D
s
=
5 (
t
+
D
t
)
2
+
1
−
(5
t
2
+
1)
=
10
t
D
t
+
5
D
t
2
otteniamo infatti:
v
=
lim
D
D
D
t
s
t
→
0
=
lim
D
D D
D
t
t t
t
t
→
+
0
2
10
5
=
lim
D
t
→
0
10
t
+
5
D
t
Poiché, per
D
t
→
0, la variabile
t
tende a
t
0
, troviamo:
v
=
(10
t
0
) m/s
=
10 (2,000 00 m/s)
=
20,0000 m/s
Prosegui tu
Dopo aver rappresentato il diagramma orario del
moto, calcola la velocità scalare istantanea come pen-
denza della retta tangente e confronta il valore così
ottenuto con quello calcolato come limite della veloci-
tà media al tendere di
D
t
a zero.
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