Basic HTML Version
8
Sezione 0
Raccordo con il primo biennio
2.
CALCOLO LETTERALE
Tavola 4
Divisione di polinomi
Esempio:
3
a
4
b
2
2
3
a
3
b
þ
1
5
ab
3
:
ð
2
ab
Þ ¼
3
2
a
3
b
þ
1
3
a
2
1
10
b
2
:
polinomio dividendo
A
ð
x
Þ ¼
B
ð
x
Þ
Q
ð
x
Þ þ
R
ð
x
Þ
quoziente
resto
polinomio
divisore
Se
R
ð
x
Þ ¼
0,
A
ð
x
Þ
e` divisibile per
B
ð
x
Þ
Divisione di un polinomio per un monomio
Per dividere un polinomio per un monomio (diverso dal monomio
nullo) si dividono tutti i termini del polinomio per il monomio, quin-
di si sommano i singoli quozienti ottenuti.
Divisione di polinomi
Teorema di esistenza e unicita` del quoziente e del resto
.
Se
A
ð
x
Þ
e
B
ð
x
Þ
sono due polinomi nella lettera
x
di grado rispet-
tivamente
n
e
m
(con
m
>
0 ed
n m
) allora esistono, e sono
unici, due polinomi,
Q
ð
x
Þ
ed
R
ð
x
Þ
, tali che:
A
ð
x
Þ ¼
B
ð
x
Þ
Q
ð
x
Þ þ
R
ð
x
Þ
dove
Q
ð
x
Þ
ha grado
n m
ed
R
ð
x
Þ
ha grado minore di
m
.
Per dividere un polinomio
A x
ð Þ
di grado
n
per un polinomio
B x
ð Þ
di grado
m
, con
m n
, procediamo nel modo seguente:
1)
scriviamo i polinomi
A x
ð Þ
e
B x
ð Þ
ordinati secondo le potenze
decrescenti di
x
;
2)
dividiamo il primo termine del dividendo
A x
ð Þ
per il primo termi-
ne del divisore
B x
ð Þ
, ottenendo cosı` il primo termine del polino-
mio quoziente
Q x
ð Þ
;
3)
moltiplichiamo questo primo termine di
Q x
ð Þ
per il polinomio
divisore
B x
ð Þ
e sottraiamo il prodotto ottenuto da
A x
ð Þ
, ottenen-
do cosı` il primo resto parziale (per rendere piu` agevole questa
sottrazione conviene scrivere il detto prodotto, con i termini cam-
biati di segno, sotto il polinomio
A x
ð Þ
, quindi sommare questi due
polinomi);
4)
dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termi-
ne di
B x
ð Þ
, ottenendo cosı` il secondo termine del quoziente
Q x
ð Þ
;
5)
moltiplichiamo questo secondo termine di
Q x
ð Þ
per il polino-
mio divisore
A
ð
x
Þ
e sottraiamo il prodotto ottenuto dal primo re-
sto parziale, ottenendo cosı` il secondo resto parziale (natural-
mente anche questa operazione si agevola nel modo indicato al
numero 3);
6)
proseguiamo nello stesso modo finche´ l’ultimo resto parziale
ottenuto e` di grado inferiore al grado del polinomio divisore. Se
l’ultimo resto parziale e` zero diremo che
A x
ð Þ
e` divisibile per
B x
ð Þ
.
41
3
5
a
4
6
a
3
1
5
a
2
:
3
a
3
1
Q
¼
1
5
a
þ
2;
R
¼
0
2
x
2
þ
x
12
:
x
2
ð
Þ
:
2
x
2
þ
x
12
x
2
þ
2
x
2
þ
4
x
:
2
x
þ
5
þ
5
x
12
þ
5
x
þ
10
=
2
A x
ð Þ ¼
2
x
2
þ
x
12
B x
ð Þ ¼
x
2
Q x
ð Þ ¼
2
x
þ
5
R x
ð Þ ¼
2