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VII
MODULO 3 – Ottica e strumenti topografici
MATERIALI PER IL RECUPERO
MI PREPARO PER L’INTERROGAZIONE
Ottica (Unità 1)
Strumenti topografici di base (Unità 2)
• Per ogni Unità, una interrogazione simulata con le domande,
le risposte e i disegni che si potrebbero fare alla lavagna
durante l’interrogazione
MATERIALI PER IL RECUPERO
Ottica
• Argomenti: proprietà della riflessione e della rifrazione;
riflessione totale; rifrazione atmosferica; proprietà della
lamina pian-parallela
• Apparati: concetti fondamentali
Strumenti topografici di base
• Argomenti: livella torica; lenti; microscopio semplice,
microscopio composto e cannocchiale; teodolite; messa in
stazione
• Apparati: concetti fondamentali
MODULO 4 – Rilievo topografico di base
MI PREPARO PER L’INTERROGAZIONE
Teoria degli errori (Unità 1)
Segnalazione dei punti e allineamenti (Unità 2)
Rilievi topografici semplici (Unità 3)
Disegno topografico (Unità 4)
• Per ogni Unità, una interrogazione simulata con le domande,
le risposte e i disegni che si potrebbero fare alla lavagna
durante l’interrogazione
MATERIALI PER IL RECUPERO
Teoria degli errori
• Argomenti: media aritmetica; scarto dalla media; scarto
quadratico medio; tolleranza; errore medio della media;
media ponderata; errore medio della media ponderata
• Apparati: concetti fondamentali; esercizi spiegati con il
commento dell’autore; esercizi con traccia della soluzione
Rilievi topografici semplici
• Argomenti: rilievo celerimetrico
• Apparati: concetti fondamentali; esercizi spiegati con il
commento dell’autore; esercizi con traccia della soluzione
Disegno topografico
• Argomenti: scala di riduzione; distanza topografica; scala
grafica e scala numerica
• Apparati: concetti fondamentali
MI PREPARO PER L’INTERROGAZIONE
UNITÀ 1 – SISTEMI DI MISURA
1 Quali sono le unità usate per la misura delle aree
secondo il Sistema Internazionale?
L’unità di misura base è il metro quadrato, indicato con
m2, e corrisponde all’area della superficie di un quadrato di
un metro di lato.Il Sistema Internazionale prevede per la misura delle aree
un’altra unità, usata soprattutto in Catasto, che è l’ara, indi-
cata col simbolo a.Corrisponde all’area della superficie di un
quadrato di dieci metri di lato, cioè 100 m2. Questa unità è
spesso utilizzata nel seguente modo: le aree inferiori a 100 m2
vengono rappresentate mediante lacentiara, indicata con ca
e che corrisponde a 1 m2, quelle comprese tra 100 m2e 10.000
m2mediante l’arae quelle superiori mediante l’ettaro, indica-
to con hae che corrisponde a 100 a, cioè 10.000 m2.
Ad esempio, un’area di 168.594,2 m2 può essere rappre-
sentata nei seguenti modi:
A = 168.594,2 m2 = 1.685,942 a = 16 ha 85 a 94,2 ca
2 Quali sono le differenze tra il sistema di misura
sessagesimale e il sessadecimale?
Entrambi i sistemi usano come unità di misura il grado ses-
sagesimale, novantesima parte dell’angolo retto, ma si diffe-
renziano per i sottomultipli: il sessagesimale usa il primo
sessagesimale, sessantesima parte del grado, e il secondo
sessagesimale, tremilaseicentesima parte del grado; il siste-
ma sessadecimale usa invece i decimi, i millesimi, ecc.
3 Illustra le caratteristiche del sistema di misura
angolare centesimale.
Questo sistema usa come unità di misura il grado centesi-
male, centesima parte dell’angolo retto, che viene indicata
col simbolo gon. I sottomultipli sono quelli del sistema
decimale, quindi decimi di grado, centesimi di grado, ecc. È
riconosciuto dal Sistema Internazionale. Esistono però
delle modalità, usate in passato o in particolari ambiti, non
riconosciute dal SI, che suddividono le cifre decimale a
gruppi di due, chiamandole impropriamente come primi
centesimali, indicati con c o con un trattino all’apice, o
come secondi centesimali, indicati con cc o due trattini
all’apice. Oppure l’angolo viene indicato con c,gc o g anzi-
ché gon.
Ad esempio un angolo di 15,5468 gon può essere rappre-
sentato nei seguenti modi, comunque non riconosciuti dal SI:
α= 15,5468 gon = 15,5468 g= 15c54–68== 15,5468 gc = 15 g54c68cc
4 Illustra le caratteristiche del sistema di misura
angolare assoluto.
Questo sistema è usato soprattutto in matematica ed ha
come unità di misura il radiante, che è l’angolo che corri-
sponde ad un arco di lunghezza uguale al raggio. Il suo sim-
bolo è rad, ma può essere anche omesso, ed è riconosciuto
dal SI. Per convertire un angolo dal sistema assoluto agli
altri sistemi dobbiamo ricordare che lo sviluppo della cir-
conferenza è 2 π volte il raggio, per cui in un angolo giro
sono racchiusi 2π radianti. Possiamo perciò scrivere la
seguente proporzione:
α r: 2π = α ° : 360° =α g: 400 gon
UNITÀ 2 – FUNZIONI GONIOMETRICHE
5 Quali sono le caratteristiche della circonferenza
trigonometrica?
È una circonferenza che ha centro sull’origine degli assi
cartesiani e il suo raggio è unitario, cioè è assunto come
unità di misura per le grandezze che si misurano nella defi-
nizione delle funzioni trigonometriche.
6 Determina i valori di seno, coseno e tangente di un
angolo di 120°.
Disegniamo la circonferenza trigonometrica e tracciamo la
semiretta che individua l’angolo di 120° partendo dall’asse
Y e procedendo in senso orario. Indicando con P l’interse-
zione della semiretta con la circonferenza, sappiamo che il
seno è dato dall’ascissa di P, il coseno dalla sua ordinata e
la tangente dal rapporto tra seno e coseno. Ribaltiamo la
semiretta OP da parte opposta all’asse X, ottenendo così il
triangolo OPP' che è sicuramente isoscele, dato che OP e
OP' sono entrambi pari al raggio della circonferenza. Dato
che l’angolo di partenza è di 120°, abbiamo allora che l’an-
golo AOP è di 120° – 90° = 30°, per cui l’angolo P'OP è di 60°.
Ma poiché il triangolo è isoscele, bisogna che i due angoli
alla base in P e in P' siano uguali, e che si dividano l’angolo
che rimane, cioè 180° – 60° = 120°, per cui devono essere
anche loro pari a 60°. Pertanto il triangolo P'OP è equilate-
ro, con i tre lati pari al raggio della circonferenza trigono-
metrica, che è l’unità. Il coseno dell’angolo, pari all’ordina-
ta di P, è subito determinabile, essendo pari alla metà di PP',
per cui vale –1/2. Il seno, pari all’ascissa AO, vale, applican-
Y
X
A
P
P'
O
R = 1
60°
α = 120°
do il teorema di Pitagora al triangolo OAP:
La tangente si trova infine facendo il rapporto tra seno e
coseno:
7 Sai determinare un valore approssimato del seno
di 4°, senza l’uso di una calcolatrice scientifica?
Sì, perché il seno di un angolo piccolo, come appunto 4°,
può essere approssimato con l’angolo stesso, espresso in
radianti. Per cui, nel caso particolare si ha:
8 Determina quell’angolo nell’intervallo da 0 a 180°
la cui tangente vale .
Sappiamo che la tangente può essere interpretata grafica-
mente col segmento orizzontale sulla sommità della circon-
ferenza trigonometrica. Dato il valore assegnato, sarà pari a
volte il raggio alla sinistra dell’asse Y, dato che il valore è
negativo.I due angoli corrispondenti alla tangente assegnata sono
quelli sull’intersezione della circonferenza con la retta con-
giungente l’estremità del segmento orizzontale con l’origine
degli assi. Notiamo però che dei due angoli così determina-
ti solo il secondo soddisfa la consegna, cioè di essere com-
preso tra 0 e 180°.Per determinare il valore dell’angolo calcoliamo la lun-
ghezza del segmento OA:
3
− 3
sen 4° 4 0,0698 ≅ ⋅ = = π π
180 45
tan 120° sen 120°
cos 120° (–2) – = = ⋅ = 3
2 3
sen 120° AO OP AP= = − = − 

 = 2 2 2
1 1
2
3
2 cioè il diametro della circonferenza. Ciò significa che se
ribaltiamo la semiretta OA da parte opposta all’asse X otte-
niamo un triangolo equilatero, con angoli al vertice di 60°.
Da ciò possiamo ricavare subito che la prima soluzione, non
accettabile, è:
α 1= – 60° = 360° – 60° = 300°
La seconda soluzione, che è invece valida, è pari a:
α 2= 300° – 180° = 120°.
9 Dimostra la formula di addizione del coseno.
Partiamo dalla formula di sottrazione del coseno:
cos (α – β) = cos a cos β + sen α senβ
e poniamo al posto dell’angolo β il suo opposto:
cos [α – (–β)] = cosα cos (–β) + sen α sen (–β)
Considerato ora che seno di angoli opposti sono opposti e
che coseni di angoli opposti sono uguali, si ha:
cos (α + β ) = cosα cosβ – sen α senβ
che è la formula di addizione del coseno.
10 Da che cosa sono dati il seno, il coseno e la tan-
gente in un triangolo rettangolo?
Il seno è il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa, il cose-
no è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa, la tan-
gente è il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente.
UNITÀ 3 – APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
11 Enuncia il teorema dei seni e dimostralo nel caso
di un triangolo ottusangolo.
Il teorema afferma che in un triangolo qualunque è costan-
te il rapporto tra i lati ed il seno dell’angolo opposto. Tale
costante è pari al diametro della circonferenza circoscritta.
Per dimostrarlo, consideriamo un triangolo ABC, ottu-
sangolo in C, e tracciamo l’altezza h relativa al lato a.
Ricaviamo ora tale altezza prima considerandola apparte-
nente al triangolo rettangolo ABH e poi appartenente al
triangolo rettangolo ACH.
OA 3 3 = ( ) + = + = = 2 2 1 1 4 2
Y
X
2
–1,73
2
2
A B
O
R = 1
60°
α 2
α 1
B a
β
c
b h
C H
A
180 – γ
γ
MI PREPARO PER L’INTERROGAZIONE
MODULO 1 ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
1. GEOIDE: superficie equipotenziale
(cioè perpendicolare in ogni punto
alla forza di gravità) passante per il
livello medio del mare.
2. ELLISSOIDE: superficie matematica
che approssima il geoide.
Equazione:
(a: semiasse equatoriale, b: semiasse
polare; X, Y: assi equatoriali; Z: asse
polare)
Schiacciamento:
Eccentricità:
Parametri dell’ellissoide internaziona-
le di Hayford:
a = 6.378.388 m; b= 6.356.912 m;
s= 1/297;
3. CAMPO GEODETICO: zona di circa 110
km di raggio in cui l’ellissoide può
essere assimilato ad una sfera, solo
per misure planimetriche.
Raggio di curvatura della sfera locale:
Raggio di curvatura del meridiano
(raggio minimo):
Gran normale (raggio massimo):
Raggio di curvatura del parallelo:
r = N · cos ϕ
4. TEOREMA DI LEGENDRE: i triangoli
sferici con lati inferiori a 200 km si
possono risolvere assimilandoli a
triangoli piani equivalenti, con stessi
lati, e con angoli pari a quelli del trian-
golo sferico ridotti ciascuno di 1/3 del-
l’eccesso sferico.
Eccesso sferico in radianti:
5. ERRORI DI SFERICITÀ
Sulle misure planimetriche:
ed = R · (tanω– ω)
(conω= d /R angolo al centro espres-
so in radianti)
Sulle misure altimetriche: eh
2
= 2 R
d
E = Area del triangolo
R2
N = sen
a
e 1 2 2 − ⋅ ϕ
ρ
ϕ
=
sen
a e
e
1
1
2
2 2 3
− ( )
− ⋅ ( )
R = Nρ ⋅
e2 = 593
88.209
e a b
a = –
2 2
2
s a b
a = −
X + Y + Z = 1 2 2
2
2
2 a b
CAMPO OPERATIVO
CONCETTI FONDAMENTALI
MATERIALI PER IL RECUPERO
COMMENTO DELL’AUTORE
IN QUESTA COLONNA TROVI, IN FORMA SINTETICA,LA SOLUZIONE COMMENTATA DALL’AUTORE.
MA PUOI ASCOLTARE ANCHE LA SUA VOCE, IN UNA
SPIEGAZIONE PIÙ ARTICOLATA, COME FATTA IN CLASSE,
PER COMMENTARE PASSO PASSO LA SOLUZIONE DI
•
QUESTO ESERCIZIO.
Risolvere il triangolo sferico ABC, essendo noti i seguenti elementi:
= 78.573,244 m = 58.522,206 m γ= 68° 56' 44,5''
assumendo il raggio della sfera locale del punto avente coordinate geografiche
(ϕ = 43,2° N; λ = 13,5° E).
SOLUZIONE
Vediamo che le dimensioni del triangolo consentono l’utilizzazione del teorema di
Legendre, pertanto possiamo risolverlo assimilandolo ad un triangolo piano, i cui
angoli devono essere ridotti ciascuno di un terzo dell’eccesso sferico.
Il raggio della sfera locale è pari alla media geometrica dei raggi di curvatura prin-
cipali:
R = N = sen = 6.377.001,3 m
2
ρ ϕ
a e
e
⋅ −
−
1
1
2
2
AC (
BC (
ESERCIZIO SPIEGATO 7
C
A
B
c
a
b
α
β
γ
COMMENTO DELL’AUTORE
ESERCIZIO SPIEGATO 7
SE HAI DUBBI SULLO SVOLGIMENTO, PUOI
SCARICARE LA SOLUZIONE COMPLETA. ESERCIZI CON TRACCIA DELLA SOLUZIONE
Determinare la distanza tra due punti che si trovano sul
parallelo ϕ = 42° 30' e che hanno una differenza di longitu-
dine pari a 2° 15', assumendo i parametri dell’ellissoide
internazionale di Hayford.
[R.:d = 184.956 m
Si calcola il raggio del parallelo, moltiplicando la gran normale
per il coseno della latitudine. La distanza si assimila all’arco di
circonferenza avente tale raggio e angolo al centro pari alla diffe-
renza di longitudine.]
Determinare la coordinate geografiche del punto B,
sapendo che è situato a 12.546 m ad Est del punto A, aven-
te le seguenti coordinate geografiche:
ϕ A= 46° 32' 45" N λ A= 2° 5' 6" W
[R.: ϕB= 46° 32' 45" N; λB = 1° 55' 17" W
I punti A e B stanno sul medesimo parallelo; calcoliamo quindi ilraggio del parallelo passante per A, in base alla sua latitudine.
Dividendo la distanza assegnata per il raggio si ottiene la diffe-
renza di longitudine in radianti. Tenendo presente che il punto si
trova ad Est, si deve sottrarre tale differenza di latitudine, tra-sformata in gradi, da quella del punto A.]
Determinare la distanza topografica tra due punti A e
B, posti alla latitudine di circa 42°, la cui distanza orizzonta-
le risulta di 1.059,266 m, sapendo che la quota del punto A è
di 985 m.
[R.:dT= 1.059,102 m
Si determina il raggio della sfera locale, mediante la media geo-
metrica dei due raggi di curvatura principale, quindi si applica la
proporzione per determinare la distanza topografica ridotta al
livello medio del mare.]
3
2
1
Il teorema di Legendre consente di considera-
re un triangolo sferico come piano quando i
lati sono inferiori a 200 km. In questo caso,
pur non essendo noto il terzo lato, dal valore
dell’angolo compreso tra i due lati noti si evin-
ce che anche il terzo avrà un valore analogo.
Il triangolo piano che si dovrà quindi risolvere
ha gli stessi lati di quello sferico, mentre gli
angoli devono essere ridotti ciascuno di un
terzo dell’eccesso sferico.
Abbiamo utilizzato la formula dell’area del
triangolo piano con l’angolo del triangolo sfe-
rico, ma ciò non comporta nessuna variazio-
ne dell’area: se infatti proviamo ora ad inseri-
re l’angolo γ
' del triangolo piano che abbiamo
ricavato più avanti nella formula, l’area risul-
ta 2.145.635.584 m2, ma l’eccesso sferico
resta invariato: 10,9''.
Si procede ora come per i triangoli piani,
applicando in questo caso il teorema del
coseno sia per determinare il lato sia l’ango-
lo, dato che l’angolo noto è acuto.
Calcoliamo quindi l’area del triangolo, in modo da poter poi determinare l’ecces-
so sferico.
Applicando la formula di Cavalieri per l’eccesso sferico si ottiene, trasformando il
risultato direttamente in secondi sessagesimali:
L’angolo γ nel triangolo piano risulta pertanto:
γ' = 68° 56' 44,5'' – 10,9''/ 3 = 68° 56' 40,9''
Per determinare l’altro lato e gli altri due angoli consideriamo ora il triangolo
piano, come previsto dal teorema di Legendre:
β' = 180 – (α '+γ ') = 43° 30' 7,3''
In definitiva gli elementi incogniti del triangolo sferico valgono:
= —
AB = 79.338,296 m
α = α ' + E / 3 = 67° 33' 15,4''
β = β' + E / 3 = 43° 30' 10,9''
AB (
α' = arccos AC AB BC
AC AB = 67° 33' 11 2 2 2 + −
⋅ ⋅ 2 ''8,
AB = AC + BC AC BC cos ' = 79.338,296 m2 2 2 − ⋅ ⋅ ⋅ γ
E = A
R = 2.145.650.000
6.377.001,3 3.
2 2
180
⋅ ⋅
π 600 = 10,9"
A = AC BC sen = 2.145.650.000 m2 ' 1
2 ⋅ ⋅ γ
PER OGNI MODULO
MI PREPARO PER L’INTERROGAZIONE