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IV
PRESENTAZIONE
LE LEZIONI
sono brevi, di 2-4 pagg., vanno subito al dunque. L’esposizione mirata è
funzionale sia per riprendere e approfondire argomenti eventualmente anticipati in Scienze
e tecnologie applicate, sia per affrontare ex novo il percorso di Topografia.
Per ogni lezione una pagina di test disponibili anche in modalità interattiva
: consentono sia
il ripasso veloce, sia la rielaborazione sistematica dei contenuti, ad es. con domande
dal posto, per verificare la comprensione dell’argomento appena spiegato. Così per gli
alunni è più facile fissare i contenuti, e l’insegnante può procedere più velocemente col
programma.
Teoria costantemente assistita da esercizi svolti; rimando agli esercizi da svolgere.
Tutti i disegni sono proiettabili grazie al CD-Rom Materiali di supporto per la LIM
: non c’è più
bisogno di disegnare alla lavagna, si sfrutta meglio il tempo della lezione.
Per ogni Modulo un dialogo
professionale in italiano e
in inglese disponibile anche
in MP3
: le situazioni sono
reali, il tono è fresco,
si presta a coinvolgere
la classe nelle prime
esperienze verso il CLIL.
42
43
DIALOGO
italiano
Lorenzo
: Ciao, Michaela, come va?
Michaela
: Bene, grazie. Sono alle prese con la
dimostrazione del teorema dei seni. So che
frequenti una scuola per topografi: sei in grado di
aiutarmi?
Lorenzo
: Sì, certo, ma devo avvertirti di un particolare
curioso. In topografia gli angoli si misurano partendo
dall’asse Y delle ordinate e procedendo in senso
orario, mentre nei Licei si parte dall’asse delle
ascisse e si procede in senso antiorario.
Michaela
: Davvero curioso! Ma tutto ciò ha
conseguenze che impattano sulla dimostrazione del
teorema?
Lorenzo
: No, ovviamente il teorema dei seni è
sempre lo stesso, sia che gli angoli siano considerati
in senso orario o antiorario. È nella definizione delle
funzioni trigonometriche che si deve stare attenti alle
due diverse convenzioni. Vuoi che ti faccia vedere
come dimostriamo questo teorema?
inglese
Lorenzo:
Hi Michaela, how are you?
Michaela
:
Fine, thanks. I’m trying to prove the sine
1
rule. I know you attend a school for surveyors. Can
you help me?
Lorenzo
:
Yes, sure, but I have to warn you about a
curious detail. In topography angles are measured
by starting from the Y axis of the ordinates in a
clockwise direction, while in other schools, angles
start from the abscissa axis and are measured
anticlockwise
2
.
Michaela
:
That’s really strange! But does this have
consequences for a demonstration of the sine rule?
Lorenzo
:
No, obviously the sine rule is always the
same, whether the angles are considered in a
clockwise or in an anticlockwise direction. These two
different conventions are important in the definition
of trigonometric functions. Do you want me to show
you how we can prove the sine rule?
(Michaela illustra la figura sul suo
quaderno e Lorenzo traccia l’altezza
h
relativa al lato BC)
Lorenzo Rossi, studente italiano di 16
anni in un istituto tecnico, e Michaela
Fritz, studentessa coetanea austria-
ca di liceo, si incontrano in Austria
durante l’estate, in occasione di un
lavoro che il padre di Lorenzo deve
svolgere in una cava austriaca. Micha-
ela è a casa, sta studiando: è alla prese
con la dimostrazione di un teorema.
B
H
A
180 –
γ
C
a
c
b
h
β
γ
Audio CLIL
MODULO 1
ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
Michaela
:
Yes, please, so that perhaps I will remem-
ber it better. I was just drawing the shape. I ought to
demonstrate it in this obtuse triangle ABC.
Lorenzo
:
Well. Let’s send the height AH relative to the
side BC and consider the two right-angled trian-
gles ABH and ACH. Recalling that in a right-angled
triangle, the sine of an acute angle is equal to the
ratio between the opposite and hypotenuse sides
3
,
we can write
4
:
triangle ABH:
sin
sin
β
β
= ⇒ = ⋅
h
c
h c
triangle ACH
5
:
sin(180
sin
sin
° − = ⇒ = ⋅
° − = ⋅
γ
γ
γ
)
(
)
h
b
h b
b
180
Now applying the transitive property, equalling the
two expressions of
h
, we get:
sin
sin
c
b
⋅
= ⋅
β
γ
Now, dividing both sides by the product of
bc
, we
obtain the expression of the sine law:
c b
sin sin
γ
β
=
Michaela
:
That’s really easy. Thanks Lorenzo!
italiano
Michaela
: Sì, grazie, così magari poi lo ricordo meglio.
Stavo appunto facendo la figura, dovrei dimostrarlo in
questo triangolo ottuso ABC.
Lorenzo
: Bene. Mandiamo l’altezza AH relativa al lato
BC e consideriamo i due triangoli rettangoli ABH e
ACH. Ricordando che in un triangolo rettangolo il seno
di un angolo acuto è pari al rapporto tra cateto oppo-
sto ed ipotenusa, possiamo scrivere:
triangolo ABH:
sen
sen
β
β
= ⇒ = ⋅
h
c
h c
triangolo ACH:
sen(180
sen
sen
° − = ⇒ = ⋅
° − = ⋅
γ
γ
γ
)
(
)
h
b
h b
b
180
Applicando ora la proprietà transitiva, uguagliando le
due espressioni ottenute di
h
, otteniamo:
sen
sen
c
b
⋅
= ⋅
β
γ
Dividendo ora entrambi i membri per il prodotto dei due
lati
bc
otteniamo l’espressione del teorema dei seni:
c
b
sen sen
γ
β
=
Michaela
: È veramente facile, grazie Lorenzo!
inglese
1
In inglese,
teorema dei seni
si può tradurre come
sine rule
, o come
sine formula
, oppure
sine law
, co-
munque col termine seno al singolare. L’abbrevia-
zione di seno è
sin
(deriva dal latino
sinus
), come
indicato nei tasti delle calcolatrici. Inoltre, nel siste-
ma anglosassone le funzioni inverse sono impro-
priamente indicate applicando l’esponente –1 alle
funzioni dirette (es. sin
–1
, cos
–1
, ecc.).
2
In inglese,
antiorario
può essere tradotto come
counterclockwise
oppure
left-handed
, in analogia
all’italiano “sinistrorso”. Il vocabolo
counter
è un
false-friend
, perché in italiano si sarebbe portati a
tradurlo con “contato, misurato”, mentre in realtà
significa “contrario”.
3
Il termine
cateto
solitamente non viene tradotto,
ma si dice semplicemente l’opposto o l’adiacente,
sottintendendo il cateto opposto o il cateto adia-
cente. In certi casi, per evitare ambiguità, si usa il
termine
side
oppure
leg
.
4
Per indicare gli angoli, in genere gli inglesi non
usano le lettere dell’alfabeto greco: preferiscono
indicarli con le lettere maiuscole che individuano
il vertice.
5
Anche in Italia, al Liceo, in trigonometria si pre-
ferisce indicare l’angolo piatto con
π
piuttosto che
con 180°, dato che si usano molto più frequente-
mente i radianti dei gradi sessagesimali.
note
308
GRIGLIA DI VALUTAZIONE
309
GRIGLIA DI VALUTAZIONE
ATTIVITÀ
Voto finale
Voto minimo 1/10, massimo 10/10: 1 + (somma dei punteggi) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/ 10
Risolvendo correttamente i quesiti 1a-2 si ottiene la sufficienza.
mi preparo
per la verifica
> dopo la lezione
18
mi preparo
per la verifica
> dopo la lezione
14
3
INDICATORI
DESCRITTORI
ESERCIZI
1a
1b
1c
2
Conoscenze specifiche
Applicazione delle formule e delle procedure corrette
1
0,5
1
1,5
Correttezza formale
ed espositiva
Arrotondamenti corretti dei risultati, figure in scala coerente.
Ordine dell’elaborato
1
0,5
1
0,5
Competenze
applicative
Uso di terminologie appropriate, risoluzione secondo schemi
ottimali
0,5
0,5
0,5
0,5
Voto finale
1 + (somma dei punteggi) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/ 10
Risolvendo correttamente il quesito a si ottiene la sufficienza.
INDICATORI
DESCRITTORI
ESERCIZI
a
b
c
Conoscenze specifiche
Applicazione delle formule e delle procedure corrette
3
0,5
2
Correttezza formale
ed espositiva
Arrotondamenti corretti dei risultati, figure in scala coerente.
Ordine dell’elaborato
1
0,25
0,5
Competenze
applicative
Uso di terminologie appropriate, risoluzione secondo schemi
ottimali
1
0,25
0,5
ESERCIZI
1
Sono date le coordinate geografiche di tre punti A, B e C:
punto A
= 38° 35 N
= 12° 6 E
ϕ
λ
b
b
punto B
= 38° 35 N
= 32° 45 W
ϕ
λ
b
b
punto C
= 40° 15 N
= 12° 6 E
ϕ
λ
b
b
Determinare, con riferimento all’ellissoide di Hayford:
a)
la distanza tra i due punti A e B;
b)
il raggio della sfera locale in A;
c)
la distanza tra i due punti A e C.
2
Determinare l’angolo
α
del triangolo sferico ABC, esprimendolo nel sistema ses-
sagesimale, noti:
+
AC = 52.536,223 m
+
AB = 43.566,671 m
+
BC = 44.654,425 m
con riferimento alla sfera locale di raggio 6.377 km.
ESERCIZI
Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un tacheometro centesimale destrorso deter-
minando i seguenti dati:
STAZIONE
PUNTO COLLIMATO CERCHIO ORIZZONTALE
DISTANZA [m]
A
D
350,5190 gon
-
B
115,4528 gon
198,394
B
A
35,5501 gon
-
C
155,1440 gon
190,382
C
D
31,6682 gon
-
B
367,1135 gon
-
a)
Risolvere analiticamente il quadrilatero, determinando graficamente i lati AD e
CD;
b)
determinare analiticamente e graficamente il raggio della circonferenza inscritta
al triangolo ACD;
c)
determinare l’area e il perimetro della figura delimitata da tale circonferenza e i
lati AD e CD.
4
Laboratorio delle
competenze
pp. 172-229
Test
disponibili anche come
e-Test
pp. 230-271
esercizi
da svolgere
pp. 272-305
mi preparo
per la verifica
pp. 306-319
ATTIVITÀ
LE ATTIVITÀ COLLEGATE
ALLE LEZIONI
costituiscono
la seconda metà del libro.
Il laboratorio delle competenze
propone attività con Excel, AutoCAD, prove grafiche,
esercitazioni all’aperto.
Seguono i
test
per lezione, gli
esercizi
da svolgere, e i materiali
mi preparo per la verifica
.
Il laboratorio delle competenze propone attività caratterizzate da
un’operatività che punta a velocizzare l’apprendimento “facendo”,
in sintonia con la didattica laboratoriale a cui la riforma assegna un
ruolo centrale nella formazione delle competenze