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VI
50
lezione
UNITÀ 2
Funicolari
51
MODULO 1
Analisi vettoriale
ESERCIZI SVOLTI
SVOLGIMENTO
Costruiamo il poligono funicolare con polo
P
del sistema di vettori; i punti d’intersezione
A
e
B
del primo
lato e dell’ultimo, rispettivamente con la retta
r
e con la paral-
lela
q
passante per
Q
, definiscono la retta congiungente
f
.
Portiamo la parallela a
f
a partire dal polo
P
e intersechia-
mo il segmento 03
—
(risultante del sistema) nel punto I, de-
finendo i due vettori
R
e
Q
che risolvono il problema.
Questo problema viene affrontato nella maggior parte del-
le applicazioni relative allo studio delle travi per la ricerca
grafica delle reazioni dei vincoli.
Per controllo, questa misura si può rilevare graficamente
nel disegno di
figura 5
.
ESERCIZIO 2
In un piano sono dati i tre vettori paralleli, illustrati in
figura 6
; sono definiti, inoltre, la retta
r
parallela ai vetto-
ri e il punto
Q
.
Scomporre il sistema di vettori secondo la retta e il punto
assegnati.
ESERCIZIO 1
L’arco in pietra, che è il tipo di arco più antico, non è costi-
tuito da un unico blocco ma da tante pietre opportuna-
mente sagomate a forma di trapezio, dette
conci
(
figura 4
).
Vedremo più avanti nel Corso che la forma dell’intera
struttura e dei suoi conci non è dettata da ragioni di ordine
estetico e che è invece determinante per poter superare
problemi fondamentali di stabilità delle strutture realizza-
te in pietra.
Per il momento impariamo a calcolare il risultante del si-
stema di vettori paralleli che rappresentano i pesi agenti
sui singoli conci di un arco in muratura (
figura 5
).
Siano date le posizioni delle singole forze rispetto alla
chiave dell’arco e le loro intensità:
Q
1
= 21 kN
Q
2
= 19 kN
Q
3
= 15 kN
Q
4
= 11 kN
SVOLGIMENTO
Una volta costruita la retta delle forze nel-
la scala prefissata (1 cm = 10 kN), si ottiene immediata-
mente il valore del risultante che, misurato su tale retta,
vale:
R
=
Q
1
+
Q
2
+
Q
3
+
Q
4
=
= 21 + 19 + 15 + 11 = 66 kN
Scelto poi il polo
P
si costruisce il poligono funicolare:
sull’intersezione fra il 1° e il 5° lato individuiamo il punto
A
per il quale passa la retta d’azione del risultante
R
.
Con il metodo analitico, conoscendo le distanze
d
2
,
d
3
e
d
4
delle rispettive forze dalla retta d’azione di
Q
1
, si ha:
R
·
d
=
∑
i
Q
i
·
d
i
da cui:
= ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
= ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ + +
19 0,41 15 0,89 11 1,40
21 19 15 11
2 2
3 3
4 4
1
2
3
4
d
Q d Q d Q d
Q Q Q Q
d
che, infine, fornisce la distanza dalla retta
r
del risultante
del sistema:
=
=
36,54
66
0,55m
d
P
R
R
A
d
4
= 140 cm
d
3
= 89 cm
d
2
=41cm 48 cm 51 cm 27 cm
r
rinfianco
arco in
muratura
Q
1
=21kN
G
1
Q
2
= 19 kN
Q
3
= 15 kN
Q
4
= 11 kN
I
II
III
IV
V
V
I
r
d
I
II
III
IV
V
4
3
2
1
0
scala delle lunghezze: 1 cm= 29,65 cm
scala delle forze:
1 cm= 11,86 kN
G
2
G
3
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
G
4
Figura 5
Ricerca del risultante di un
sistema di vettori paralleli.
Figura 4
Un arco in pietra.
A
I
II
III
IV
B
f
Q
q
punto assegnato
f
r
r
retta assegnata
P
II
III
IV
f
I
1
2
3
0
I
q
3
2
1
3
2
1
R
Q
Q
R
Figura 6
Scomposizione di un sistema di vettori paralleli secondo una retta e un punto assegnati.
Figura 7
Nel supporto informatico
PRONT
è possibile eseguire in automatico le operazioni grafiche per il tracciamento del poligono
funicolare, con una animazione che ripete le operazioni per l’individuazione dell’intensità e la posizione della Risultante.
Lavoriamo con le
COMPETENZE
lezione
UNITÀ 2
Funicolari
ESERCIZI SVOLTI
ESERCIZIO 1
L’arco in pietra, che è il tipo di arco più antico, non è costi-
tuito da un unico blocco ma da tante pietre opportuna-
mente sagomate a forma di trapezio, dette
conci
(
figura 4
).
Vedremo più avanti nel Corso che la forma dell’intera
struttura e dei suoi conci non è dettata da ragioni di ordine
estetico e che è invece determinante per poter superare
problemi fondamentali di stabilità delle strutture realizza-
te in pietra.
Per il momento impariamo a calcolare il risultante del si-
stema di vettori paralleli che rappresentano i pesi agenti
sui singoli conci di un rco in muratura (
figura 5
).
Siano date le posizioni delle singole forze rispetto alla
chiave dell’arco e le loro intensità:
Q
1
= 21 kN
Q
2
= 19 kN
Q
3
= 15 kN
Q
4
= 11 kN
SVOLGIMENTO
Una volta costruita la retta delle forze nel-
la scala prefissata (1 cm = 10 kN), si ottiene immediata-
mente il valore del risultante che, misurato su tale retta,
vale:
R
=
Q
1
+
Q
2
+
Q
3
+
Q
4
=
= 21 + 19 + 15 + 11 = 66 kN
Scelto poi il polo
P
si costruisce il poligono funicolare:
sull’intersezione fra il 1° e il 5° lato individuiamo il punto
A
per il quale passa la retta d’azione del risultante
R
.
Con il metodo analitico, conoscendo le distanze
d
2
,
d
3
e
d
4
delle rispettive forze dalla retta d’azione di
Q
1
, si ha:
R
·
d
=
∑
i
Q
i
·
d
i
da cui:
= ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
2 2
3 3
4 4
1
2
3
4
d
Q d Q d Q d
Q Q Q Q
R
A
d
4
= 140 cm
d
3
= 89 cm
d
2
=41cm 48 cm 51 cm 27 cm
r
rinfianco
arco in
muratura
Q
1
=21kN
G
1
Q
2
= 19 kN
Q
3
= 15 kN
Q
4
= 11 kN
I
II
III
IV
V
V
I
r
d
I
II
1
0
scala delle lunghezze: 1 cm= 29,65 cm
scala delle forze:
1 cm= 11,86 kN
G
2
G
3
Q
1
G
4
Figura 4
Un arco in pietra.
Lavoriamo con le
COMPETENZE
170
UNITÀ 1
Azioni e riferimenti normativi. Carichi permanenti
171
MODULO 3
Analisi dei carichi sulle costruzioni
Per quanto riguarda il
pilastro BD
la massima sollecitazio-
ne di sforzo normale si ha al piede del pilastro e vale (
fi-
gura 24
):
reazione della trave
ABC
:
V
B
=
>
142,37 kN
peso della trave
HK
(porzione):
3,75 kN
peso proprio del pilastro
(altezza = 4,50 m):
1,2
⋅
4,5 = 5,40 kN
N
max
= 151,52 kN
L’analisi sull’elemento
trave ABC
fornisce:
a) carico trasferito dal solaio: 5,0
⋅
2,5 = 12,50 kN/m
b) peso proprio della trave:
1,50 kN/m
totale carichi permanenti:
14,00 kN/m
d) carico accidentale trasferito
dal solaio:
3,5
⋅
2,5 = 8,75 kN/m
carico totale:
22,75 kN/m
Porzione di influenza della
trave HK
:
1,5
⋅
2,5 = 3,75 kN/m
Sullo schema statico di
figura 22
possiamo quindi disporre
il carico totale di 22,75 kN/m ed ottener tramite l’us del
supporto informatico del
Prontuari
videata di
f gura 23
,
da cui si ricavano le sollecitazioni di momento flettente e
taglio, nonché le reazioni vincolari.
ESERCIZIO 4
Negli esercizi precedenti abbiamo visto come applicare le
conoscenze acquisite circa l’analisi dei carichi permanenti
su singoli elementi strutturali.
Confrontiamoci ora con un caso più complesso, per risol-
vere il quale dovremo avere sviluppato delle competenze
su questo specifico argomento. Determiniamo le condi-
zioni di carico più sfavorevoli per la struttura a sostegno
di una piattaforma per un belvedere a uso pubblico, come
indicato in
figura 20
.
SVOLGIMENTO
In pianta si individua l’orditura delle travi
sulle quali si imposta il solaio di calpestio (
Figura 21A
): è
questa una serie parallela di elementi strutturali (per esempio
ABC
), ciascuno dei quali sostiene da ambo le parti un
pannello di solaio (per esempio la zona
E
e la zona
F
).
Ciascuna trave
ABC
è appoggiata a monte sul punto
A,
a
sbalzo libero sull’estremo C ed appoggiata nel punto
B
su un pilastro verticale intermedio. Una trave di collega-
mento unisce le teste dei pilastri ed un’altra gli appoggi
di monte.
Lo schema statico di una membratura strutturale tipo
può essere quindi tracciato come in
figura 21B
ed il carico
relativo individuato come quello che i due pannelli di
solaio
E
ed
F
scaricano sulla trave tipo
ABC.
Per la simmetria della struttura, l’area di influenza della
trave è delimitata dagli assi mediani dei pannelli di solaio.
Si assumono i seguenti carichi (risultati di analisi specifi-
che relative ai singoli elementi costruttivi):
a) peso permanente del solaio:
5,0 kN/m
2
b) peso proprio delle travi:
1,5 kN/m
c) peso proprio del pilastro:
1,2 kN/m
d) carico accidentale del solaio:
3,5 kN/m
2
A
appoggio continuo
B
zona
F
zona
E
H
K
C
6,40
2,55
1,25 2,50
2,50
2,50
2,50 1,25
appoggio a cerniera sui pilastri
appoggio
a cerniera
A
B C
D
12,50
Figura 20
Belvedere per uso pubblico realizzato con struttura in cemento armato.
Figura 21
Orditura delle travi del solaio della piattaforma per un
belvedere (A) e schema statico di una membratura tipo (B).
Figura 22
Schema statico di trave su appoggi con sbalzo soggetta
a carico uniformemente distribuito.
Figura 23
Videata di
PRONT
per la risoluzione di trave appoggiata con sbalzo soggetta a carico uniformemente distribuito.
A
B
C
22,75 kN/m
640
255
ALLENAMENTO ALLA PROVA ESPERTA
ALLENAMENTO ALLA PROVA ESPERTA
A
B
Figura 24
La sollecitazione di sforzo normale agente sul pilastro
BD
.
pilastro tipo
V
B
= 142,37 kN
TR
(
HK
) = 3,75 kN
p.p.
= 5,40 kN
N
max
= 15,15 kN
Lavoriamo con le
COMPETENZE
UNITÀ 1
Azioni e riferimenti normativi. Carichi permanenti
171
MODULO 3
Analisi dei carichi sulle costruzioni
Per quanto riguarda il
pilastro BD
la massima sollecitazio-
ne di sforzo normale si ha al piede del pilastro e vale (
fi-
gura 24
):
reazione della trave
ABC
:
V
B
=
>
142,37 kN
peso della trave
HK
(porzione):
3,75 kN
peso proprio del pilastro
(altezza = 4,50 m):
1,2
⋅
4,5 = 5,40 kN
N
max
= 151,52 kN
L’analisi sull’elemento
trave ABC
fornisce:
a) carico trasferito dal solaio: 5,0
⋅
2,5 = 12,50 kN/m
b) peso proprio della trave:
1,50 kN/m
totale carichi permanenti:
14,00 kN/m
d) carico accidentale trasferito
dal solaio:
3,5
⋅
2,5 = 8,75 kN/m
carico totale:
22,75 kN/m
Porzione di influenza della
trave HK
:
1,5
⋅
2,5 = 3,75 kN/m
Sullo schema statico di
figura 22
possiamo quindi disporre
il carico totale di 22,75 kN/m ed ottenere tramite l’uso del
supporto informatico del
Prontuario
la videata di
figura 23
,
da cui si ricavano le sollecitazioni di momento flettente e
taglio, nonché le reazioni vincolari.
biamo visto come applicare le
l’analisi dei carichi permanenti
ali.
caso più complesso, per risol-
e sviluppato delle competenze
ento. Determiniamo le condi-
oli per la struttura a sostegno
elvedere a uso pubblico, come
i individua l’orditura delle travi
aio di calpestio (
Figura 21A
): è
lementi strutturali (per esempio
sostiene da ambo le parti un
pio la zona
E
e la zona
F
).
ggiata a monte sul punto
A,
a
C ed appoggiata nel punto
B
ermedio. Una trave di collega-
ilastri ed un’altra gli appoggi
membratura strutturale tipo
come in
figura 21B
ed il carico
quello che i due pannelli di
la trave tipo
ABC.
ttura, l’area di influenza della
mediani dei pannelli di solaio.
ichi (risultati di analisi specifi-
nti costruttivi):
solaio:
5,0 kN/m
2
avi:
1,5 kN/m
stro:
1,2 kN/m
l solaio:
3,5 kN/m
2
A
appoggio continuo
B
zona
F
zona
E
H
K
C
6,40
2,55
1,25 2,50
2,50
2,50
2,50 1,25
appoggio a cerniera sui pilastri
appoggio
a cerniera
A
B C
D
12,50
ubblico realizzato con struttura in cemento armato.
Figura 21
Orditura delle travi del solaio della piattaforma per un
belvedere (A) e schema statico di una membratura tipo (B).
Figura 22
Schema statico di trave su appoggi con sbalzo soggetta
a carico uniformemente distribuito.
Figura 23
Videata di
PRONT
per la risoluzione di trave appoggiata con sbalzo soggetta a carico uniformemente distribuito.
A
B
C
22,75 kN/m
640
255
ALLENAMENTO ALLA PROVA ESPERTA
A
B
Figura 24
La sollecitazione di sforzo normale agente sul pilastro
BD
.
pilastro tipo
V
B
= 142,37 kN
TR
(
HK
) = 3,75 kN
p.p.
= 5,40 kN
N
max
= 15,15 kN
Lavoriamo con le
COMPETENZE
SU CARTA
IL PERCORSO DI BASE
Questi esercizi richiedono una maggiore capacità di analisi,
confronto, scelta: possono servire come allenamento per
una eventuale prova esperta
Il percorso di base
è costruito su lezioni brevi,
quasi sempre di 2-4 pagine,
con esercizi svolti
e da svolgere
Esposizione mirata, ampio
corredo iconografico
Rubrica “In pratica”: elementare
infografica per fissare i concetti
chiave con l’aiuto della memoria
visiva
APPARATI PER SVILUPPARE
LE COMPETENZE
DUE PERCORSI
DIDATTICI
Questi esercizi richiedono di applicare le conoscenze a
casi concreti: è il primo passo verso la certificazione delle
competenze al termine del quinquennio
Esercizi
(Vol. 1A e Vol. 1B)
e
Laboratorio di progettazione
(Vol. 1C)
per sviluppare le
competenze secondo questa
progressione didattica
• verifica delle conoscenze
(esercizi “normali”)
• applicazione delle
conoscenze a casi concreti
(esercizi
lavoriamo con le
competenze
)
• elaborazione di un
microprogetto (esercizi
lavoriamo con le
competenze/allenamento
alla prova esperta
)
• progettazione vera e
propria (
lavoriamo con le
competenze/laboratorio
di progettazione
)
70
lezione
UNITÀ 1
Baricentri e momenti statici
71
MODULO 2
La geometria delle masse
centro e vi si faccia passare un ago con un filo di cotone
annodato all’estremità, in modo che la figura rimanga so-
spesa. Nel caso in cui essa si disponga su un piano oriz-
zontale (
figura 1A
), quello individuato è il baricentro. Se
invece si dispone la figura su un piano verticale (
figura 1B
)
e se ne disegna la retta
a
, prosecuzione del filo di sospen-
sione e poi si ripete l’operazione, scegliendo un nuovo
punto
B
, il punto d’intersezione delle due rette
a
e
b
è il
baricentro
G
cercato (
figura 1C
).
Notiamo che questo esperimento corrisponde alla co-
struzione grafica della Lezione 1,
figura 5
. Piccole regole
permettono quindi l’individuazione del baricentro di un
oggetto.
Nei problemi delle costruzioni interessa conoscere il bari-
centro di figure piane, siano esse linee, superfici oppure,
come capita in alcuni casi, volumi: in questo senso sareb-
be più logico parlare di baricentri di linee, di aree, di vo-
lumi. Il procedimento da seguire è concettualmente quel-
lo che abbiamo definito prima: si suppone che l’oggetto
del quale si vuole conoscere il baricentro sia scomposto in
parti elementari sulle quali si eseguono le precedenti co-
struzioni.
BARICENTRI DI
FIGURE PIANE
2
Nel caso di corpi che hanno un peso, il baricentro si
definisce anche
centro di gravità
, poiché è il punto nel
quale si può considerare concentrato tutto il peso del
corpo.
asse di simmetria
verticale
asse di simmetria
orizzontale
profilato a C
G
G
profilato
a spigoli tondi
G
2) circonferenza
5) triangolo
G
G
3) quadrato
6) rettangolo
G
G
1) segmento
4) parallelogramma
7) ellisse
8) corona circolare
G
G
G
9) cerchio
G
s
= asse di simmetria
Profilo IPE
Tubo a sezione quadrata
Tubo a sezione circolare
Sistema di masse discreto
G
s
s
G
s
s
G
s
s
G
s
s
Figura 4
Baricentri di figure con due assi di simmetria.
Figura 2
Baricentri di figure con asse di simmetria.
Figura 1
Ricerca del baricentro.
Figura 3
Baricentri di alcune figure piane.
G
G
A
A B
B
a
a
P
P
P
π
π
π
IN
PRATICA
C
Anche qui il
baricentro
sta,
oltre che sull’intersezione
degli assi X-X e Y-Y anche
nell’intersezione degli assi
J-J e k-k, ma questi non
sono propriamente assi di
simmetria!
Prova a ragionarci un po’
sopra!
D
a-a; b-b; c-c sono tre assi di
simmetria; il
baricentro
è
sull’intersezione dei tre assi
(N.B. se ci pensi un attimo
scopri che due assi si
incontrano nel punto G; il
terzo asse deve passare per
lo stesso punto)
B
L’asse x-x e l’asse y-y sono assi di simmetria: il
baricentro G
è sulla
loro intersezione(*)
Però si potrebbe fare anche così
Anche n-n e m-m sono assi di simmetria
Qui il
baricentro
si
trova sicuramente
sull’asse y-y, ma a
quale altezza?
Occorre qualche
altro strumento di
ricerca!
A
Il baricentro è
nel mezzo
Vale anche qui il criterio(*)
C
B
A
Se una figura ha un
asse di simmetria
(un asse rispetto al
quale la parte di sinistra ruotando si sovrappone esat-
tamente alla parte di destra), il baricentro deve cadere
su quest’asse (
figura 2
).
Se la figura ha due assi di simmetria, il baricentro coin-
cide con la loro intersezione (
figura 3
).
Il baricentro di un segmento rettilineo
AB
è nel suo pun-
to di mezzo, ossia nel centro geometrico; il baricentro di
un quadrato (e così anche quello di un rettangolo e di un
parallelogramma) coincide con il suo centro geometrico;
nel caso del cerchio e della corona circolare il baricentro
coincide ancora con il centro delle figure (
figura 4
).
Un esempio pratico può essere sintetizzato nella sequen-
za di
figura 1
. Si disegni una figura su un cartoncino e la si
ritagli; si decida poi a occhio quale può essere il suo bari-
6
lezione
UNITÀ 1
Vettori
7
MODULO 1
Analisi vettoriale
Questa struttura, nota in architettura con il nome di
trili-
te
2
,
risulta composta da tre elementi strutturali connessi
fra loro, in modo tale che le azioni esterne sono trasferite
dall’architrave sui piedritti e da questi al suolo.
Al fine di approfondire ulteriormente questa analisi e chia-
rire i termini che stiamo adoperando, consideriamo la
struttura rappresentata nella
figura 4
: si tratta di un’inca-
vallatura in legno per la copertura di un ambiente, appog-
giata su pareti in muratura che spiccano dal terreno.
Notiamo che tale struttura è assai simile al precedente si-
stema architravato; tuttavia, l’elemento orizzontale che in
questo caso prende il nome di
capriata
3
è composto, a sua
volta, dai seguenti elementi strutturali semplici:
AB
e
BC
sono i
puntoni,
AC
la
catena
,
BD
si
chiama
monaco
,
DE
saette
(vedi Modulo 3, U.D. 1).
Un ulteriore esempio è illustrato in
figura 5
. Essa mostra la
struttura di un ponte nella quale distinguiamo i seguenti
elementi strutturali: una
trave
orizzontale che sostiene di-
rettamente la via di transito e un
arco
inferiore che sorregge
All’inizio di questa Unità abbiamo chiarito qual è il si-
gnificato del termine “costruzione” e quanto ampio ne
sia il dominio; ora dobbiamo insistere sul fatto che di tut-
ta la problematica delle costruzioni a noi interessa quel
particolare aspetto che concerne la resistenza e l’agibilità.
Questo ci consente di operare subito una netta distinzio-
ne fra le parti della costruzione che
hanno una funzione
statica o di sostegno
e quelle che non hanno tale funzione,
in quanto sono sostenute dalle prime.
Pensiamo, per esempio, alle parti che compongono un
edificio moderno, come i tramezzi, gli intonaci, i rivesti-
menti, i pavimenti; queste sono parti che noi percepiamo
immediatamente e che vengono usate per dividere lo spa-
zio e gli ambienti o per la loro rifinitura. Tali parti (
figura 1
)
sono eseguite quando è già stato realizzato quel comples-
so di opere che generalmente noi non percepiamo, ma
che costituisce la struttura portante della costruzione.
Quindi, con il termine
struttura
si intendono quelle parti
della costruzione che devono rispondere ai due requisiti
fondamentali della
resistenza
e dell’
agibilità
.
D’ora in poi abbandoneremo il termine generico di
costru-
zione
e parleremo sempre di
struttura
come:
Gli elementi strutturali
e le strutture
2
MURATURA E SOLAIO
Finiture
Tavolato
Struttura verticale
muratura
intonaco
rivestimento
travi del solaio
pavimento
travicelli
Struttura
Finiture
Struttura
rivestimento in marmo
soletta in c.a.
RAMPA DI SCALA
costruzione coincidente
con la struttura
PONTE AD ARCO
Figura 1
Esempi di strutture visibili e non visibili nelle costruzioni.
1
Si pensi ai monumenti preistorici (4000-1000 a.C.)
denominati menhir – dal bretone “pietra lunga” –, costituiti
da massi isolati infissi verticalmente nel terreno.
Figura 2
Rappresentazione di un oggetto pesante.
Figura 3
Esempio di sistema strutturale semplice: architrave su
piedritti in pietra (trilite).
Figura 4
Sistema strutturale relativamente semplice:
trave composta (capriata) su pareti in muratura.
Figura 5
Esempio di sistema strutturale complesso:
ponte ad arco a via superiore.
F
1
F
2
somma delle
forze superiori
peso
F
3
F
1
F
2
F
3
B
D
A
C
E
E
legno
muratura
trave orizzontale
arco
setti
P
1
P
2
cemento
armato
insieme di corpi connessi fra loro in grado di trasferire
le azioni esterne ai corpi circostanti o al terreno sul
quale sorgono.
È interessante osservare che, a volte, per le strutture mu-
rarie, cioè le strutture realizzate con pietre o mattoni, la
costruzione coincide con la struttura vera e propria (vedi
l’esempio di
figura 1B
). Lo stesso vale per la struttura dei
solai in legno (
figura 1A
), ossia per le opere in c.a. quando
questo viene lasciato in vista.
L’esempio più semplice di struttura può essere rappresen-
tato da un oggetto qualsiasi che sia appoggiato su un ge-
nerico piano orizzontale. Le azioni che agiscono sul cor-
po vengono trasmesse da questo al piano sottostante che
schematizza il suolo
1
(
figura 2
).
In questo caso la struttura coincide con l’unico
elemento
strutturale
che la costituisce.
Di
sistema strutturale
vero e proprio si deve invece parla-
re a proposito della costruzione illustrata in
figura 3
, che,
per quanto rozza e primitiva, rappresenta un tipo fonda-
mentale di struttura: quella costituita da due elementi
verticali (detti
piedritti
)
che sostengono un elemento oriz-
zontale (detto
architrave
).
2
trilite
: dal greco “tre pietre”, struttura elementare a forma
di portale, costituita da tre elementi, due verticali, laterali,
portanti e uno superiore portato.
3
Capriata
: struttura portante per la copertura di capannoni,
preferita in passato, per la semplicità, nelle chiese francescane.
la trave mediante una serie di elementi verticali,
pilastri
o
setti
,
e trasmette i carichi agenti al suolo.
Abbiamo così chiarito cosa si debba intendere per
elemen-
to strutturale
e per
struttura
.
È opportuno, però, riflettere
sul fatto che questa distinzione è fatta per motivi di como-
dità in quanto, nella realtà dei fatti, anche il più semplice
elemento strutturale, quale un pilastro, può essere conside-
rato come una struttura.
Per convincersi di ciò è sufficiente pensare che, se potessimo
osservare con strumenti opportuni una parte piccolissima
di quel pilastro, scopriremmo che essa è costituita da una
struttura assai complessa, fatta di atomi e molecole che inte-
ragiscono fra loro secondo leggi estremamente difficili da
descrivere e che richiedono competenze specifiche; a questa
scala di osservazione, i nostri strumenti di indagine perdo-
no valore e cedono il passo ad altri strumenti che sono pro-
pri di un’altra disciplina: la Fisica dello stato solido.
È in questo senso che va vista la divisione che noi operia-
mo fra struttura ed elemento strutturale; in ogni caso la
nostra indagine è di tipo macroscopico, essendo le altre di
tipo microscopico. Di regola, ed è buona norma, l’idea
della struttura deve nascere nella mente del progettista
contemporaneamente all’idea di tutta la costruzione; per
questo è necessario avere una corretta conoscenza dei pro-
blemi della progettazione in generale e della progettazione
strutturale in particolare.
C
B
A
NOTA
NOTA
70
lezione
UNITÀ 1
Baricentri e momenti statici
centro e vi si faccia passare un ago con un filo di cotone
annodato all’estremità, in modo che la figura rimanga so-
spesa. Nel caso in cui essa si disponga su un piano oriz-
zontale (
figura 1A
), quello individuato è il baricentro. Se
invece si dispone la figura su un piano verticale (
figura 1B
)
e se ne disegna la retta
a
, prosecuzione del filo di sospen-
sione e poi si ripete l’operazione, scegliendo un nuovo
punto
B
, il punto d’intersezione delle due rette
a
e
b
è il
baricentro
G
cercato (
figura 1C
).
Notiamo che questo esperimento corrisponde alla co-
struzione grafica della Lezione 1,
figura 5
. Piccole regole
permettono quindi l’individuazione del baricentro di un
oggetto.
Nei problemi delle costruzioni interessa conoscere il bari-
centro di figure piane, siano esse linee, superfici oppure,
come capita in alcuni casi, volumi: in questo senso sareb-
be più logico parlare di baricentri di linee, di aree, di vo-
lumi. Il procedimento da seguire è concettualmente quel-
lo che abbiamo definito prima: si suppone che l’oggetto
del quale si vuole conoscere il baricentro sia scomposto in
parti elementari sulle quali si eseguono le precedenti co-
struzioni.
BARICENTRI DI
FIGURE PIANE
2
Nel caso di corpi che hanno un peso, il baricentro si
definisce anche
centro di gravità
, poiché è il punto nel
quale si può considerare concentrato tutto il peso del
corpo.
asse di simmetria
verticale
asse di simmetria
orizzontale
profilato a C
G
G
profilato
a spigoli tondi
G
2) circonferenza
5) triangolo
G
G
3) quadrato
6) rettangolo
G
G
1) segmento
4) parallelogramma
7) ellisse
8) corona circolare
G
G
G
9) cerchio
G
s
= asse di simmetria
Profilo IPE
Tubo a sezione quadrata
Tubo a sezione circolare
Sistema di masse discreto
G
s
s
G
s
s
G
s
s
G
s
s
Figura 4
Baricentri di figure con due assi di simmetria.
Figura 2
Baricentri di figure con asse di simmetria.
Figura 1
Ricerca del baricentro.
Figura 3
Baricentri di alcune figure piane.
G
G
A
A B
B
a
a
P
P
P
π
π
π
IN
PRATICA
C
Anche qui il
baricentro
sta,
oltre che sull’intersezione
degli assi X-X e Y-Y anche
nel ’in ers zione degli assi
J-J e k-k, ma questi non
sono propriamente assi di
simmetria!
Prova a ragionarci un po’
sopra!
D
a-a; b-b; c-c sono tre assi di
simmetria; il
baric nt o
è
sull’intersezione dei tre assi
(N.B. se ci pensi un attimo
scopri che due assi si
incontrano nel punto G; il
terzo asse deve passare per
lo stesso punto)
B
L’asse x-x e l’asse y-y sono ass
loro intersezione(*)
A
Il baricentro è
nel mezzo
Vale anche qui il criterio(*)
C
B
A
Se una fig
quale la
tamente
su quest’a
Se la figu
cide con l
Il baricent
to di mezz
un quadrat
parallelogr
nel caso d
coincide a
Un esempio pratico può essere sintetizzato nella sequen-
za di
figura 1
. Si disegni una figura su un cartoncino e la si
ritagli; si decida poi a occhio quale può essere il suo bari-