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Unita` A
Insiemi numerici e calcolo letterale
11
2
x
3
þ
5
x
2
x
1
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
A x
ð Þ
:
x
þ
2
ð
Þ
|fflffl{zfflffl}
B x
ð Þ
Sostituiamo a
x
il valore
2
, nel polinomio
A x
ð Þ
:
R
¼
A
2
ð Þ ¼
2 2
ð Þ
3
þ
5 2
ð Þ
2
2
ð Þ
1
¼
¼
16
þ
20
þ
2 1
¼
5
Nel caso in cui in una divisione il divisore sia del tipo
x
þ
a
, vale inoltre il seguente teorema, detto
teorema
del resto di Ruffini
, che permette di calcolare il resto
di una divisione senza eseguire la divisione stessa.
Il resto della divisione tra il polinomio
A
ð
x
Þ
e il bino-
mio
x
þ
a
e` il valore che assume il polinomio
A
ð
x
Þ
at-
tribuendo alla variabile
x
il valore
a
. La condizione
necessaria e sufficiente perche´ il polinomio
A
ð
x
Þ
sia
divisibile per il binomio
x
þ
a
e` che sia
A
ð
a
Þ ¼
0.
Esegui le seguenti divisioni.
61
ð
a
2
þ
1 3
a
Þ
:
ð
a
þ
1
Þ
½
Q
¼
a
2;
R
¼
3
62
ð
3
a
4
a
2
þ
2
a
Þ
:
ð
a
2
Þ
½
Q
¼
3
a
3
þ
6
a
2
þ
11
a
þ
21;
R
¼
44
63
ð
x
2
x
2
3
x
4
Þ
:
ð
x
þ
2
Þ
½
Q
¼
3
x
3
þ
6
x
2
14
x
þ
29;
R
¼
58
64
ð
x
2
x
3
þ
18
Þ
:
ð
x
3
Þ
½
Q
¼
x
2
2
x
6;
R
¼
0
65
ð
5
a
4
2
a
2
þ
3
a
Þ
:
a
þ
1
5
66
ð
x
3
þ
8 5
x
Þ
:
ð
x
3
Þ
½
Q
¼
x
2
þ
3
x
þ
4;
R
¼
20
67
ð
x
3
4
x
2
3
x
2
Þ
:
ð
2
x
þ
1
Þ
Q
¼
1
2
x
2
9
4
x
3
8
;
R
¼
13
8
68
ð
81
a
4
16
Þ
:
ð
3
a
þ
2
Þ
Q
¼
27
a
3
18
a
2
þ
12
a
8;
R
¼
0
69
Mediante il teorema del resto di Ruffini, stabilisci quale dei seguenti polinomi e` divisibile per
ð
x
þ
2
Þ
:
a)
A
ð
x
Þ ¼
3
x
2
5
x
þ
8;
b)
B
ð
x
Þ ¼
x
4
þ
16;
c)
C
ð
x
Þ ¼
x
3
þ
8.
70
Mediante il teorema del resto di Ruffini stabilisci quale dei seguenti polinomi e` divisibile per
ð
x
1
Þ
:
a)
A
ð
x
Þ ¼
x
2
þ
3
x
þ
6;
b)
B
ð
x
Þ ¼
x
2
2
x
þ
1;
c)
C
ð
x
Þ ¼
x
2
þ
1.
Tavola 6
Scomposizione in fattori dei polinomi
Scomporre un polinomio in fattori significa uguagliarlo al prodotto di altri polinomi. La scomposizione di un poli-
nomio in fattori risulta spesso necessaria, ma non esiste una regola precisa che permette di effettuarla.
riducibile
polinomio
4
x
2
4
x
¼
4
x x
1
ð
Þ
x
2
þ
1
2
x
3
polinomi
irriducibili
Polinomi riducibili e irriducibili
Un polinomio intero e`
riducibile
quando puo` es-
sere uguagliato al prodotto di almeno altri due
polinomi interi.
Al contrario, un polinomio intero, che non puo` es-
sere scomposto in fattori, e`
irriducibile
.