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498
Illustra il procedimento per risolvere un’e-
quazione biquadratica in
x
, del tipo cioe` :
ax
4
þ
bx
2
þ
c
¼
0
con
a
,
b
,
c
numeri reali.
499
Risolvi le seguenti equazioni biquadratiche:
a)
x
4
13
x
2
þ
36
¼
0;
b)
x
4
þ
5
x
2
36
¼
0;
c)
x
4
þ
13
x
2
þ
36
¼
0;
d)
x
4
x
2
þ
4
¼
0.
Osserva quali di esse hanno radicali reali e
quali no e cerca di capire se sarebbe possi-
bile prevederlo senza risolverle.
500
Considera l’equazione biquadratica:
x
4
29
x
2
þ
100
¼
0
:
Spiega quali controlli si devono eseguire
per decidere, senza risolverla, se ammette
4 radici reali, 2 radici reali, nessuna radice
reale, e generalizza la discussione per
un’equazione biquadratica qualunque.
501
Considera l’equazione:
ax
6
þ
bx
3
þ
c
¼
0
:
Di’ quali condizioni devono essere verifi-
cate perche´ essa ammetta radici reali.
Confronta le conclusioni con quelle del
precedente esercizio.
502
Vero o falso?
V F
a)
Se l’equazione
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
ammette radici reali, allora
l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva
o nulla.
b)
Se nell’equazione
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva o
nulla, allora l’equazione ammette
radici reali.
c)
Se l’equazione biquadratica
ax
4
þ
bx
2
þ
c
¼
0 ammette radici reali,
allora l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva o nulla.
d)
Se nell’equazione biquadratica
V F
ax
4
þ
bx
2
þ
c
¼
0 l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva o nulla, allora
l’equazione ammette radici reali.
e)
Se l’equazione
ax
6
þ
bx
3
þ
c
¼
0
ammette radici reali, allora
l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva
o nulla.
f)
Se nell’equazione
ax
6
þ
bx
3
þ
c
¼
0
l’espressione
b
2
4
ac
e` positiva o
nulla, allora l’equazione ammette
radici reali.
503
Tenendo conto di quanto visto nell’eserci-
zio precedente, completa le seguenti frasi
inserendo la dicitura ‘‘necessaria, ma non
sufficiente’’, oppure ‘‘necessaria e suffi-
ciente’’.
a)
Nell’equazione
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0 il
verificarsi della condizione
b
2
4
ac
0
e` condizione ... perche´ essa ammetta
radici reali.
b)
Nell’equazione
ax
4
þ
bx
2
þ
c
¼
0 il
verificarsi della condizione
b
2
4
ac
0
e` condizione ... perche´ essa ammetta
radici reali.
c)
Nell’equazione
ax
6
þ
bx
3
þ
c
¼
0 il
verificarsi della condizione
b
2
4
ac
0
e` condizione ... perche´ essa ammetta
radici reali.
504
Le seguenti terne di numeri, o espressioni
letterali, sono soluzioni di equazioni di 3
grado in
x
:
a)
x
1
¼
1,
x
2
¼
2,
x
3
¼
1
5
;
b)
x
1
¼
0,
x
2
¼
3,
x
3
¼
7;
c)
x
1
¼
a
,
x
2
¼
3
a
,
x
3
¼
a
þ
2.
Scrivi le equazioni di 3 grado che ammet-
tono come soluzioni le terne date.
505
Risolvi in
R
, con il minor numero di passaggi possibile, le seguenti equazioni:
a)
3
x
2
þ
4 5
x
1
ð
Þ ¼
0;
b)
x
3
x
2
ð
Þ ¼
5 3
x
2
ð
Þ
;
c)
7
x
2
ð
Þ
3
4
x
5
ð
Þ
4
¼
0;
d)
x
2
3
x
2
þ
x
2
4
x
þ
3
2
¼
0;
e)
ð
x
1
Þ
2
16
x
2
þ
7
¼
0;
f)
7
ð
x
2
Þ
2
ð
3
x
þ
2
Þ
2
¼
0;
g)
ð
x
1
Þ
2
9
x
þ
2
¼
0
:
70
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari