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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2
o
Ricordiamo che...
9
n
L’equazione:
3
x
3
81
¼
0
ammette la soluzione:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
81
3
3
r
¼
3
n
L’equazione:
81
x
4
1
¼
0
ammette le due soluzioni:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
81
4
r
¼
1
3
n
L’equazione:
x
4
þ
81
¼
0
non ammette soluzioni reali
L’equazione binomia
ax
n
þ
b
¼
0:
n
se
n
e` dispari
, ammette l’unica soluzione reale:
x
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
n
se
n
e` pari
e
b
a
>
0, ammette due soluzioni reali:
x
1
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
e
x
2
¼ þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
a
n
r
n
se
n
e` pari
e
b
a
<
0, non ammette soluzioni reali.
Per risolvere l’equazione 4
x
4
þ
3
x
2
1
¼
0:
n
poniamo
x
4
¼
y
2
e
x
2
¼
y
;
n
risolviamo l’equazione di 2 grado associata
4
y
2
þ
3
y
1
¼
0
ottenendo le soluzioni
y
1
¼
1 e
y
2
¼
1
4
n
risolviamo poi le equazioni binomie:
x
2
¼
1 che non ha soluzioni reali
e
x
2
¼
1
4
che ammette le soluzioni
x
1, 2
¼
1
2
L’equazione trinomia
ax
2
n
þ
bx
n
þ
c
¼
0
si risolve utilizzando il seguente procedimento:
n
si effettua la sostituzione:
x
2
n
¼
y
2
e
x
n
¼
y
n
si risolve l’equazione di 2 grado associata
ay
2
þ
by
þ
c
¼
0
ottenendo le eventuali radici
y
1
e
y
2
n
si risolvono le equazioni binomie:
x
n
¼
y
1
e
x
n
¼
y
2
.
Le eventuali soluzioni razionali dell’equazione
f x
ð Þ ¼
x
3
2
x
2
5
x
þ
6
¼
0
vanno ricercate tra i numeri:
1,
2;
3
Poiche´ :
f
1
ð Þ ¼
0,
f
2
ð Þ ¼
0,
f
3
ð Þ ¼
0
le soluzioni sono:
x
1
¼
2,
x
2
¼
0,
x
3
¼
3
Le equazioni di grado superiore al 2
a
0
x
n
þ
b
1
x
n
1
þ
:::
þ
a
n
1
x
þ
a
n
¼
0 (con
n
>
2)
n
non ammettono un procedimento di risoluzione va-
lido in generale;
n
possono essere risolte per tentativi;
n
se ammettono radici razionali queste vanno cerca-
te fra tutte le frazioni (positive o negative) aventi
per numeratore un divisore del termine noto e per
denominatore un divisore del coefficiente del ter-
mine di grado maggiore.
QUESITI
496
Riconosci quali delle seguenti equazioni
sono binomie, trinomie o biquadratiche:
a)
5
x
3
1
¼
0;
b)
3
x
4
10
x
2
þ
3
¼
0;
c)
x
6
15
x
3
þ
14
¼
0;
d)
x
8
5
x
4
24
¼
0;
e)
2
x
5
þ
21
¼
0;
f)
x
4
þ
x
2
¼
2.
497
Illustra il procedimento per risolvere un’e-
quazione binomia. Spiega perche´ l’equa-
zione binomia nell’incognita
x
:
ax
n
þ
b
¼
0
non ha radici reali se
a
e
b
sono numeri
reali concordi.
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
69