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ESERCIZIO GUIDA
370
Data l’equazione parametrica:
x
2
2
kx
þ
3
k
1
¼
0
determiniamo per quali valori del parametro
k
essa ha radici
x
1
e
x
2
reali e per le quali sussisto-
no le seguenti relazioni:
a)
x
1
¼
ffiffi
2
p
1;
d)
x
2
1
þ
x
2
2
¼
12;
b)
x
1
¼
x
2
;
e)
1
x
2
1
þ
1
x
2
2
¼
5
16
:
c)
2
x
1
þ
x
2
ð
Þ þ
x
1
x
2
ð Þ
2
¼
8;
n
Le soluzioni
x
1
e
x
2
sono reali se 0, cioe` per
k
2
3
k
þ
1 0 cioe`
k
3
ffiffi
5
p
2
,
k
3
þ
ffiffi
5
p
2
:
Affinche´ :
a)
x
1
¼
ffiffi
2
p
1 sia soluzione dell’equazione data, tale valore deve verificare l’equazione stessa.
Deve essere cioe` :
ffiffi
2
p
1
2
2
k
ffiffi
2
p
1
þ
3
k
1
¼
0
da cui:
k
¼
2 3
ffiffi
2
p
1
17
:
b)
x
1
¼
x
2
se e solo se
¼
0, cioe`
k
¼
3
ffiffi
5
p
2
:
c)
Tenuto conto che in un’equazione di 2 grado
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0 si ha
x
1
þ
x
2
¼
b
a
e
x
1
x
2
¼
c
a
,
nel caso considerato deve essere:
2 2
k
ð Þ þ
3
k
1
ð
Þ
2
¼
8
cioe` :
k
1
¼
7
9
e
k
2
¼
1
(con
k
2
¼
1 non accettabile perche´ esterno all’intervallo in cui
0
Þ
.
d)
La condizione
x
2
1
þ
x
2
2
¼
12 si puo` scrivere nella forma
x
1
þ
x
2
ð
Þ
2
2
x
1
x
2
¼
12 pertanto, nel ca-
so considerato, deve essere:
2
k
ð Þ
2
2 3
k
1
ð
Þ ¼
12
cioe` :
k
1
¼
1 e
k
2
¼
5
2
(con
k
2
¼
5
2
non accettabile poiche´ per tale valore si ha
<
0
Þ
.
e)
La condizione
1
x
2
1
þ
1
x
2
2
¼
5
16
si puo` scrivere nella forma
x
1
þ
x
2
ð
Þ
2
2
x
1
x
2
x
1
x
2
ð Þ
2
¼
16, pertanto nel
caso considerato deve essere:
2
k
ð Þ
2
2 3
k
1
ð
Þ
3
k
1
ð
Þ
2
¼
5
16
cioe` :
k
1
¼
3,
k
2
¼
9
16
(con
k
2
¼
9
16
non accettabile poiche´ per tale valore si ha
<
0
Þ
.
58
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari