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12.
ALTRI TIPI DI EQUAZIONI RAZIONALI
Vedremo ora come sia possibile,
procedendo per tentativi
, risolvere altri tipi di equazioni razionali di gra-
do superiore al 2 e precisamente quelle che ammettono delle
radici razionali
. Si puo` dimostrare che:
n
le radici razionali di un’equazione razionale di grado
n
>
2
devono avere per numeratore un divi-
sore (positivo o negativo) del termine noto dell’equazione e per denominatore un divisore (positi-
vo o negativo) del coefficiente del termine di grado piu` alto
(tralasciamo la dimostrazione di que-
sto teorema).
Per cercare le soluzioni razionali di un’equazione procederemo quindi nel seguente modo. Data
l’equazione:
a
0
x
n
þ
a
1
x
n
1
þ
a
2
x
n
2
þ
. . .
þ
a
n
1
x
þ
a
n
¼
0
cercheremo tutti i divisori di
a
n
e tutti i divisori di
a
0
; scriveremo poi tutte le possibili frazioni
aventi i primi per numeratore ed i secondi per denominatore e sostituiremo tali frazioni nell’equa-
zione per vedere se verificano o no l’uguaglianza. Se avremo trovato qualche radice, potremo
scomporre il polinomio del membro di sinistra mediante la regola di Ruffini e poi, applicando la
legge di annullamento del prodotto, potremo trovare altre soluzioni.
Ricordiamo che e` possibile dimostrare che un’equazione di grado
n
a coefficienti reali ammette al
massimo
n
soluzioni reali; tali soluzioni possono essere distinte tra loro o coincidenti.
esempi
1
Risolviamo l’equazione:
x
3
4
x
2
þ
x
þ
6
¼
0.
I divisori del termine noto sono:
1,
2,
3,
6.
I divisori del primo coefficiente sono 1.
Le eventuali soluzioni razionali sono quindi da ricercarsi tra i seguenti numeri:
1,
2,
3,
6.
Eseguendo la sostituzione nel polinomio:
f
ð
x
Þ ¼
x
3
4
x
2
þ
x
þ
6,
primo membro dell’equazione, si
trova:
f
1
ð Þ 6
¼
0;
f
1
ð Þ ¼
0;
f
2
ð Þ ¼
0;
f
2
ð Þ 6
¼
0;
f
3
ð Þ ¼
0;
f
3
ð Þ 6
¼
0;
f
6
ð Þ 6
¼
0;
f
6
ð Þ 6
¼
0
:
Concludiamo quindi che le soluzioni dell’equazione sono tutte razionali e precisamente:
x
1
¼
1,
x
2
¼
2,
x
3
¼
3
:
2
Risolviamo l’equazione:
2
x
3
7
x
2
þ
5
x
1
¼
0
:
I divisori del termine noto sono: 1.
I divisori del primo coefficiente sono: 1, 2.
Le eventuali soluzioni razionali sono quindi da ricercarsi tra i seguenti numeri: 1,
1
2
.
Poiche´ eseguendo la sostituzione nel polinomio:
f
ð
x
Þ ¼
2
x
3
7
x
2
þ
5
x
1 si ha:
f
1
ð Þ 6
¼
0;
f
1
ð Þ 6
¼
0;
f
1
2
¼
0;
f
1
2
6
¼
0
l’unica soluzione razionale dell’equazione e` :
x
1
¼
1
2
:
Dividendo il polinomio:
f x
ð Þ ¼
2
x
3
7
x
2
þ
5
x
1
28
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari