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h) La somma degli inversi delle radici e` un numero prefissato
Affinche´ la somma degli inversi delle radici sia per esempio 9, cioe` sia:
1
x
1
þ
1
x
2
¼
9 e quindi
x
1
þ
x
2
x
1
x
2
¼
9, deve essere
b
a
c
a
¼
9
percio` per la [1] si avra` :
2
k
þ
1
ð
Þ ¼
9
)
k
¼
7
2
.
Verifichiamo che per
k
¼
7
2
la somma degli inversi delle radici e` 9:
x
2
9
x
þ
1
¼
0;
x
1
¼
9
ffiffiffiffiffi
77
p
2
e
x
2
¼
9
þ
ffiffiffiffiffi
77
p
2
1
x
1
þ
1
x
2
¼
2
9
ffiffiffiffiffi
77
p þ
2
9
þ
ffiffiffiffiffi
77
p ¼
18
þ
2
ffiffiffiffiffi
77
p þ
18 2
ffiffiffiffiffi
77
p
ð
9
ffiffiffiffiffi
77
p Þð
9
þ
ffiffiffiffiffi
77
p Þ ¼
36
4
¼
9
:
i) Una radice e` multipla dell’altra
Quest’ultima condizione richiede che una radice della [1] sia multipla, per esempio quadrupla, del-
l’altra, cioe` sia
x
1
¼
4
x
2
. Ponendo in sistema questa relazione con le altre due che stabiliscono rispet-
tivamente i valori della somma e del prodotto delle due radici:
x
1
¼
4
x
2
x
1
þ
x
2
¼
2
ð
k
þ
1
Þ
x
1
x
2
¼
1
8>><
>>:
e risolvendo si ottiene:
k
¼
1
4
e in corrispondenza
x
1
¼
2,
x
2
¼
1
2
;
k
¼
9
4
e in corrispondenza
x
1
¼
2,
x
2
¼
1
2
.
In entrambi i casi e`
x
1
¼
4
x
2
.
APPLICAZIONI
Il rapporto aureo
Abbiamo gia` avuto occasione di illustrare, nel volume dedicato alla geometria, che cosa si intende per ‘‘se-
zione aurea’’ di un segmento e per ‘‘rapporto aureo’’, di cui vogliamo qui calcolare il valore.
Ricordiamo che, dato un segmento
AB
si dice
sezione aurea
di
AB
quella parte di
AB
che risulta media pro-
porzionale tra
AB
e la parte rimanente, tale cioe` che valga la proporzione:
AB
:
AH
¼
AH
:
HB
:
A
AB = a, AH = s, HB = a – s
H B
Dette
a
e
s
(con
a
>
0 e
s
>
0) le misure di
AB
e di
AH
, rispetto a una stessa unita` di misura, si ha allora:
a
:
s
¼
s
:
a s
ð
Þ
24
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari