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2 caso
Il discriminante sia nullo, cioe` sia:
¼
b
2
4
ac
¼
0
.
L’equazione ha la sola soluzione reale:
x
¼
b
2
a
ma, come gia` abbiamo detto nel precedente paragrafo, e` preferibile dire che l’equazione ha
due solu-
zioni reali coincidenti
:
x
1
¼
x
2
¼
b
2
a
:
3 caso
Il discriminante sia negativo, cioe` sia:
¼
b
2
4
ac
<
0
.
In questo caso la radice quadrata del discriminante non fornisce numeri reali e l’equazione risulta
pertanto impossibile nell’insieme
R
.
COMPETENZA: LINGUAGGIO
Il termine ‘‘discriminante’’ deriva dal latino
discriminare
, che significa ‘‘distinguere’’, ‘‘differenziare’’. In un’e-
quazione di 2 grado il binomio
b
2
4
ac
differenzia, discrimina il tipo di soluzioni; per questo motivo viene
chiamato discriminante o semplicemente ‘‘delta’’, in quanto viene indicato con la lettera (delta maiuscola)
dell’alfabeto greco.
esempi
1
Risolviamo l’equazione:
3
x
2
x
10
¼
0
:
Essendo
¼
1
þ
120
¼
121
>
0, si ha:
x
¼
1
ffiffiffiffiffiffi
121
p
6
¼
1 11
6
e quindi:
x
1
¼
5
3
e
x
2
¼
2 (radici reali distinte).
2
Risolviamo l’equazione:
9
x
2
þ
24
x
þ
16
¼
0
:
Essendo
¼
576 576
¼
0, si ha:
x
1
¼
x
2
¼
b
2
a
¼
4
3
(radici reali coincidenti).
RIFLETTI
Se in un’equazione di 2 grado si
ha
¼
0, il trinomio
ax
2
þ
bx
þ
c
e`
lo svolgimento del quadrato di un
binomio.
Si poteva pero` pervenire piu` rapidamente a questo risultato notando che:
9
x
2
þ
24
x
þ
16
¼
3
x
þ
4
ð
Þ
2
:
3
Risolviamo l’equazione:
x
2
2
x
þ
7
¼
0
:
Essendo
¼
4 28
¼
24
<
0, l’equazione risulta priva di soluzioni reali.
La formula risolutiva delle equazioni di 2 grado puo` essere applicata anche alle equazioni incomple-
te; cio` non e` pero` conveniente in quanto i metodi esaminati nel precedente paragrafo sono assai piu`
rapidi. Riteniamo comunque utile riportare un esempio di equazione incompleta risolta sia con la
detta formula che con i metodi utilizzati nel paragrafo 2.
10
Sezione 1
Equazioni, disequazioni e sistemi non lineari