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n
3 caso.
L’equazione
ax
2
¼
0 e` equivalente all’equazione:
x
2
¼
0
e ha pertanto solo la radice
x
¼
0. Si dice pero` , per motivi che risulteranno piu` chiari in seguito, che:
l’equazione
x
2
¼
0 ha due radici coincidenti uguali a zero; e` quindi
x
1
¼
x
2
¼
0.
esempi
5
Risolviamo l’equazione:
7
x
2
¼
0
:
Avremo:
x
2
¼
0
e quindi:
x
1
¼
x
2
¼
0
:
6
Risolviamo l’equazione:
2
x
1
ð
Þ
2
þ
1
¼
8
x
4
ð
Þ
x
þ
2
:
Eseguendo le operazioni indicate e riducendo poi a forma normale avremo:
4
x
2
4
x
þ
1
þ
1
¼
8
x
2
4
x
þ
2;
4
x
2
¼
0 e quindi:
x
1
¼
x
2
¼
0
:
4.
RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DI 2
o
GRADO COMPLETE
Vediamo ora come possiamo trovare le radici di un’equazione di 2 grado completa:
ax
2
þ
bx
þ
c
¼
0
:
Poiche´ abbiamo supposto che
a
sia diverso da zero, possiamo moltiplicare entrambi i membri dell’e-
quazione per 4
a
; trasportando poi il termine noto nel membro di destra otteniamo l’equazione equiva-
lente:
4
a
2
x
2
þ
4
abx
¼
4
ac
:
Aggiungiamo ora
b
2
ad entrambi i membri dell’equazione, in modo che il membro di sinistra risulti il
quadrato di un binomio:
4
a
2
x
2
þ
4
abx
þ
b
2
¼
b
2
4
ac
2
ax
þ
b
ð
Þ
2
¼
b
2
4
ac
:
L’espressione
b
2
4
ac
, che costituisce il secondo membro dell’uguaglianza ottenuta, viene denomina-
ta
discriminante
dell’equazione e viene usualmente indicata con la lettera (
delta
).
Se il discriminante non risulta negativo, estraendo la radice quadrata da entrambi i membri dell’u-
guaglianza abbiamo:
2
ax
þ
b
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
da cui:
2
ax
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
e infine la
formula risolutiva
:
x
¼
b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
4
ac
p
2
a
¼
b
ffiffiffiffi
p
2
a
Per quanto riguarda il valore che il discriminante puo` assumere si devono distinguere tre casi di-
versi; infatti
puo` essere positivo, nullo o negativo. Esaminiamo separatamente ciascuno di questi
casi.
1 caso
Il discriminante sia positivo, cioe` sia:
¼
b
2
4
ac
>
0
.
Sotto questa condizione la radice quadrata del discriminante fornisce due numeri reali opposti:
þ
ffiffiffiffi
p
e
ffiffiffiffi
p
; l’equazione ha pertanto
due soluzioni reali distinte
:
x
1
¼
b
ffiffiffiffi
p
2
a
e
x
2
¼
b
þ
ffiffiffiffi
p
2
a
:
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
9