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eSeRcIZI
fisicA per immAgini
63
I due vettori
a
→
e
b
→
rappresentati nella figura forma-
no un angolo di 20°. Calcola il loro prodotto vetto-
riale e il loro prodotto scalare.
a
b
10,0 u
20,0 u
20
°
[68,4 u
2
entrante perpendicolarmente
nel piano del disegno; 188 u
2
]
64
I vettori
a
→
=
2
i
→
+
3
j
→
e
b
→
= −
i
→
+
2
j
→
giacciono
sul piano
xy
di un sistema cartesiano tridimensionale
Oxyz
. Calcola il prodotto scalare e il prodotto vetto-
riale dei due vettori.
[4; 7
k
→
, con
k
→
versore dell’asse
z
]
65
In un sistema cartesiano
Oxyz
una forza
F
→
e il vetto-
re posizione
r
→
del suo punto di applicazione sono
così espressi:
F
→
=
2
i
→
−
4
j
→
ed
r
→
=
−
3
i
→
+
5
j
→
.
Sapendo che con
i
→
,
j
→
e
k
→
vengono indicati, nell’or-
dine, i versori degli assi
x
,
y
e
z
del sistema carte-
siano, qual è il momento di
F
→
rispetto all’origine
O
del sistema?
[2
k
→
]
66
Calcola il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei
due vettori
a
→
e
b
→
qui rappresentati e di modulo pari
rispettivamente a
u 2 2
e
v 2 3
.
x
y
a
b
30
°
45
°
[
u v
2 3 6
−
(
)
;
u v
− +
(
)
2 3 6
k
→
, con
k
→
versore perpendicolare al piano del foglio
e uscente da esso]
problemi di unità
67
Nell’ora di punta un automobilista avanza lentamente
lungo un rettilineo congestionato dal traffico. guarda
il suo orologio quando ha superato di 15,0 m un
cartellone pubblicitario: segna le 8 h 10 min e 15 s.
Poi guarda nuovamente l’orologio quando si trova a
200 m dal cartellone: ora indica le 8 h 11 min e 42 s.
Con quale velocità scalare media l’auto è avanzata
nell’intervallo di tempo considerato? Se l’automobile
continuasse a mantenere questa stessa identica velo-
cità, quanto tempo sarebbe necessario per percorrere
1,60 km?
[2,13 m/s; 751 s]
68
Se un pallone cade verticalmente da un’altezza di
8,30 m, determina tempo di caduta e velocità con
cui giunge al suolo.
[1,30 s, 12,8 m/s]
69
Un punto materiale si muove lungo un asse orien-
tato
Os
con velocità espressa in funzione del tempo
dalla relazione
v
=
(10 m/s)
−
(5,0 m/s
2
)
t
. risali alla
legge oraria del moto e calcola lo spazio percorso
dal punto fino a quando non si arresta, assumendo
che il punto si trovi nell’origine
O
all’istante
t
=
0
[
s
=
(10 m/s)
t
−
(2,5 m/s
2
)
t
2
; 10 m]
70
Un aeroplano che vola alla velocità di 300 m/s acce-
lera con accelerazione costante uguale a 5,00 m/s
2
per 4,00 s, mantenendo poi la velocità.
• traccia il diagramma velocità-tempo per i primi
10,0 s dall’istante in cui inizia ad accelerare.
•Qual è lo spazio percorso dall’aeroplano dopo i
primi 4,00 s e dopo i primi 10,0 s?
•Quanto vale l’accelerazione al quinto secondo di volo?
[1,24 km; 3,16 km; 0]
71
Un punto materiale si muove lungo l’asse
x
con
legge oraria
x
=
(1 m/s
2
)
t
2
−
(40 m/s)
t
.
• Come si esprime la velocità in funzione del tempo?
•Qual è la distanza massima percorsa dal punto
quando si allontana a sinistra dell’origine?
• Con quale velocità il punto passa di nuovo per
l’origine dopo l’istante iniziale?
[
v
=
(2 m/s
2
)
t
−
(40 m/s);
−
400 m; 40 m/s]
72
Un camion, che si muove di moto rettilineo unifor-
memente accelerato, percorre una galleria di 200 m
in 15 s. Se impiega 5,0 s a percorrere i primi 100 m
del tunnel, quanto vale l’accelerazione del camion? A
quanti kilometri orari stava procedendo l’automezzo
quando ha imboccato la galleria? traccia il diagram-
ma velocità-tempo.
[
−
1,3 m/s
2
; 84 km/h]
73
Un’automobile lanciata a velocità
v
0
è costretta
improvvisamente a fermarsi perché si presenta
un ostacolo a distanza
d
. Supponendo che i
riflessi dell’automobilista gli consentano di ini-
ziare la frenata dopo un intervallo di tempo
D
t
,
nell’ipotesi che durante la frenata il moto sia
uniformemente ritardato con decelerazione di
modulo
a
, trova la condizione cui devono soddi-
sfare i parametri
v
0
,
D
t
,
a
e
d
affinché l’automo-
bile non investa l’ostacolo.
62
Dimostra che il modulo di un vettore
v
→
è uguale
alla radice quadrata del prodotto scalare del
vettore per se stesso.
suggerimento
Inizia la dimostrazione calcolando il prodotto scala-
re di
v
→
per sé stesso, cioè
v
→
•
v
→
=
.... cos....
=
....
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