Basic HTML Version
24
Raccogliendo tutti i fattori costanti ed esprimendoli con
k
r
, la formula di-
venta più semplice:
r
=
n
2
k
r
Per
n
=
1 si ricava
r
=
53 pm (ovvero
r
=
5,3 · 10
−
11
m), che corrisponde
al raggio dell’orbita più vicina al nucleo, detto
raggio di Bohr
. Il raggio
dell’
n
-esima orbita, in picometri, può quindi essere calcolato dalla formu-
la
r
=
53
n
2
.
•
Energia delle orbite
L’energia di un elettrone è la somma
E
tot
=
E
c
+
E
p
della sua energia cineti-
ca
E
c
e della sua energia potenziale
E
p
, per definizione negativa. Si ha:
Essendo, come visto in precedenza,
k e
2
/r
2
=
m v
2
/r
, si trova:
Essendo inoltre
r
=
n
2
h
2
/(4
π
2
k e
2
m
), vale la relazione
Infine, indicando con
k
e
l’insieme dei fattori costanti,
Per
n
=
1 si trova il livello energetico fondamentale dell’atomo di idroge-
no,
E
=
2,18 · 10
−
18
J. Il livello corrispondente alla
n
-esima orbita è calco-
labile, in joule, dalla formula
E
=
2,18 · 10
−
18
/
n
2
. È utile notare che, per la
presenza del segno negativo, al crescere di
n
, quindi della distanza del-
l’elettrone dal nucleo, aumenta la sua energia.
Conoscendo i livelli energetici corrispondenti alle singole orbite, Bohr po-
té calcolare le differenti frequenze delle radiazioni che l’elettrone eccitato del-
l’atomo di idrogeno avrebbe dovuto emettere effettuando alcune transizioni
“in discesa”, per mezzo della seguente equazione:
avendo indicato con
E
i
l’energia del livello iniziale, con
E
f
l’energia del livel-
lo finale e con
n
i
e
n
f
i corrisondenti numeri quantici.
L’equazione era stata già determinata empiricamente da Johann J. Balmer
e da Johannes R. Rydberg alla fine del XIX secolo (
equazione di Rydberg
).
Applicandola alle transizioni da alcuni livelli superiori al livello 2 si ottiene:
•
dal livello 6 al livello 2
•
dal livello 5 al livello 2
f
3 2
18
34
2
2
218 10
6 6 10
1
2
1
5
6
→
−
−
= ⋅
⋅
⋅
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
,
,
J
J s
,
9 10
14
⋅
Hz
f
6 2
18
34
2
2
218 10
6 6 10
1
2
1
6
7
→
−
−
= ⋅
⋅
⋅
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
,
,
J
J s
,
3 10
14
⋅
Hz
f
E E
h
k n k n
h
k
h n n
i
f
e i
e
f
e
f
i
=
−
=
− − −
(
)
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
2
2
2
2
1 1
⎟
E
k
n
e
= −
2
E
k e m
n h
= −
2
2 2 4
2 2
π
E
k e
r
k e
r
k e
r
= − = −
2
2
2
2
2
E
m v k e
r
= −
2
2
2